数学史

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第一种方法

设正n面体,的顶点数为D,边数为B,每面为s边形,每点对t面。

由欧拉公式得:D+n=B+2(1)

由边数得:ns=2B (2)

由边数得:ns=tD(3)

2t*(1)得:2ns+2tn=nst+4t ==》

n[2s+2t-st]=4t ,n>t==>

v=[2s+2t-st]<4==>v=1,2,3==>

(s-2)(t-2)=4-v==>t=3,或6-v==》

n=4t/v=12/v或[24-4v]/v=24/v-4,

v=1==》n=12,20,(s=5,3)

v=2==》n=6,8,(s=4,3)

v=3==》n=4 (s=3)

应为:

1、正四面体(四个正三角形);

2、正六面体(六个正方形);

3、正八面体(八个正三角形);

4、正十二面体(十二个正五边形);

5、正二十面体(二十个正三角形)。

第二种方法

1) 要三个以上平面才能构成一个正多面体的角,

2) 讨论正多边形的内角A

A3=180/3=60度,

3*A3=180<360,

4*A3=240<360,

5*A3=300<360,

所以,由正三角形构成的正多面体有三个,

A4=90度,

3*A4=270<360,

所以,由正方形构成的正多面体有一个,

A5=180*(5-2)/5=108度,

3*A5=324<360,

所以,由正五边形构成的正多面体有一个,

A6=180*(6-2)/6=120度

3*A6=360, 无法构成的正多面体的角.

边数越大,内角越大,大于正六边形的正多边形,都不能构成的正多面体的角.也就是不能构成的正多面体.

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