高中数学竞赛平面几何讲座第3讲 点共线、线共点

第三讲 点共线、线共点

在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。

1. 点共线的证明

点共线的通常证明方法是:通过邻补角关系证明三点共线;证明两点的连线必过第三点;证明三点组成的三角形面积为零等。n(n≥4)点共线可转化为三点共线。

例1 如图,设线段AB的中点为C,以AC和CB为对角线作平行四边形AECD,

BFCG。又作平行四边形CFHD,CGKE。求证:H,C,K三点共线。 证 连AK,DG,HB。

G

由题意,ADECKG,知四边形AKGD是平行四边形,于是AKDG。同样可证

行四边形,其对AKHB。四边形AHBK是平A

角线AB,KH互相平分。而C是AB中点,线

段KH过C点,故K,C,H三点共线。

例2 如图所示,菱形ABCD中,∠A=120

高中数学竞赛平面几何讲座第3讲  点共线、线共点

为△ABC外接圆,M为其上

一点,连接MC交AB于E,AM交CB延长线于F。求证:D,E,F三点共线。

证 如图,连AC,DF,DE。

因为M

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上,

则∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB

高中数学竞赛平面几何讲座第3讲  点共线、线共点

有△AMC∽△ACF,得

MCCFCF

。 MACACD

又因为∠AMC=BAC,所以△AMC∽△EAC,得

MCACAD

。 MAAEAE

CFAD

所以,又∠BAD=∠BCD=120°,知△CFD∽ CDAE

△ADE。所以∠ADE=∠DFB。因为AD∥BC,所以∠ADF=∠DFB=∠ADE,于是F,E,D三点共线。

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