计算方法试卷B

河工大期末考试

:号学

题 答 名 姓要 不 内 线 封 级密班业专称名院学

学期

计算方法 试卷B卷

┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃出卷教师:孙会霞

适应班级:应数、信计07级1、2班

一、填空题(每空2分,共24分)

1.e 2.71828 具有四位有效数字的近似值为2.718;其相对误差限为2.5 10 4

.

2. 设矩阵B 11

03

,则B的谱半径 (B) ,B1 3. 数值积分

b

a

f(x)dx的梯形公式为: ,其截断误差

.

b a

b a)

3

为: ┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃2

[f(a) f(b)],

(12

f ( ), (a,b)

4. 用Newton法求方程f(x) 0的迭代公式:xf(xk)

k 1 xk

f (x,k 0,1,2, ,它是2 阶方法. k)

5. 求解线性方程组Ax b的迭代格式x(k 1) Bx(k) g对任意初值都收敛的充分必要条件是迭代矩阵B的谱半径小于1或 (B) 1

┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃6. 求解常微分方程

y 8 3y

y(1) 2

数值解的梯形公式为:yn 1 yh

n

2

[16 3yn 3yn 1]. 7. 为了避免误差扩大,当x很大时,计算

x 1 x

x的正确方法是化为:1x(x 1 x)

计算.

8. 假设x (xf(x0 h) f(x0 h)

0 [x0 h,x0 h],写出求f0)的中心差商公式f (x0) 2h

线

┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃二(本题12分)为求非线性方程f(x) 0在区间[a,b]内的一个根,构造迭代格式

xk 1 (xk).(1)当 (x)满足什么条件时,构造的迭代格式是收敛的?(2)为求出非

线性方程x3 x2

x 1 0在x 1.5附近的一个根,请给出一种收敛迭代格式xk 1 (xk),并证明其收

敛性.

二(12分)解:(1)当迭代函数 (x)满足(1)x [a,b]时, (x) [a,b],(2)( (x)| L 1时,对

任意的初值迭代法总是收敛的

.---------------------------------------------------------4 (2)取1.5附近的区间[1,2],构造迭代格式:x2

k 1 xk xk 1(k 0,1,2, ),----------4分

在该区间上考察迭代格式对应的迭代函数 (x) x2 x 1,容易验证x [1,2]时, (x) [1,2],并且

| (x)| 1 ,故迭代格式收敛对任意的初值均收敛

三(本题11分)设f(0) 1,f( 1) 5,f(2) 1,

(1)分别求二阶差商与三阶差商f[0, 1],

f[0, 1,2],

(2)写出二次Newton插值多项式的表达式及用差商表示的余项公式.

三(11分)解:f[0, 1] 4,f[0,2] 1,f[0, 1,2] 1 ,--------------------------5 二次牛顿插值多项式为:

N2(x) f( 1) f[ 1,0](x 1) f[ 1,0,2]x(x 1) 5 (x 1) (x 1)x x2 4-----4

余项表达式为:R(x) f[x, 1,0,2]x(x 1)(x 2)-----------------------------------2

四(本题 12 分)取节点x0 0,x1

1,对应的函数值与导数值分别为

f(x0) 1, f'(x0) 2,f(x1) 2,试建立不超过二次的Hermite型插值多项式,

若f(x)具有三阶导数,写出插值余项表达式并给以证明.

四(12) 设所求的二次多项式为H22(x) a0 a1x a2x,代入插值条件得a0,a1,a2应满足:

a0 1 a1 a2 1,解之得:a0 1,a1 2,a2 1, a1

2故所求二次插值多项式为H2

2(x) 1 2x x------------------------------------6

(2) 设余项R(x) f(x) H2(x),由插值条件知道:余项R(x)应满足:R(0) R(1) R (0) 0,故可设R(x) K(x)x2

(x 1),其中,K(x)为待定函数。

对任意固定的x,作辅助函数:F(t) f(t) H2

2(t) K(x)t(t 1)----------(1)

则F(x) F(0) F (0) F(1) 0,对F(t),F (t),F (t)连续使用3次罗尔定理得:至少存在

[0,1]使得F ( ) 0,代入(1)式得:K(x)

1

3!

f ( ),从而,插值余项表达式为:R(x)

f ( )x2

(

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x 1)------------------------------------------------------------------------------------6

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