2012年全国高中数学联赛辅导专题材料不定方程(山东济南历城二中王峰)

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不定方程 山东 济南 王峰 不定方程的常用解法

不定方程是初等数论的重要研究对象,求解(或证明无解)不定方程没有统一的方法,或许正因为如此,对同一问题的处理又存在风格不同的解法。下面列出的是一些常见的处理手法。

因式分解法(因数分析) 对方程的一边进行因式分解,另一边作质因数分解(当然,这时要求方程有一边是常数),然后对比两边,转为求解若干个方程组。

配方法 将方程的一边变为平方和的形式,另一边为常数,常用不等式予以处理。

不等式估计 利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围,。再分别处理。

取模同余方法(余数分析法,特别地,奇偶分析法)

如果不定方程F(x1, ,xn)=0有整数解,则对任意m N*,其整数解(x1, ,xn)满足F(x1, ,xn) 0(modm). 利用这一条件,同余可以作为探求不定方程整数解的一块试金石。

构造法 在不易得出方程的全部解时,通过构造法可以提供其部分解,从而证明该方程有解或者有无穷多个解,适合于处理存在性问题。

无穷递降法 适合证明不定方程没有正整数解。

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