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价值工程

幂级数的求和方法

SummationMethodofPowerSeries

杜道渊DuDaoyuan

（四川理工学院理学院，自贡643000）

Zigong643000，China）（SchoolofScience,SichuanUniversityofScience&Engineering，

摘要：本文应用高等数学的知识，介绍了幂级数的几种常见的求和方法及技巧。

Abstract：Bymeansoftherelevantknowledgefromtheadvancedmathematics,somegeneralsummationmethodandtechniquesofpowerseriesare

introducedinthispaper.

关键词：幂级数；收敛区间；求和

Keywords：powerseries;convergenceinterval;summation

中图分类号：G42

文献标识码：A

文章编号：1006-4311（2010）26-0202-01

0引言

幂级数Σanx的求和问题是无穷级数中的重点也是难点，同

n=1∞

n

3逐项积分

幂级数在其收敛区间内其和函数是可积的，且有逐项积分公式a

dx=Σ乙axdx=ΣxΣax乙乙s（x）dx=乙乙x

x

∞

∞

n

x

n

∞

n

n=0

n

n=0

n

n=0

n+1

时具有较强的技巧性。下面谈谈幂级数的几种常见的求和方法。

1计算部分和的极限

根据无穷级数收敛的定义知：部分和的极限如果存在，则该极限就是无穷级数的和。对于幂级数Σanx，设前项和为sn（x），则

n=1∞

n

通过对幂级数的逐项积分将其转化为能求出和函数的幂级数，

再求导即可。

2n

例3求幂级数Σ（n+1）x（x<1）的和函数

n=0

2n解：设s（x）=Σ（n+1）x，两边积分

n=0x∞

∞

limsn（x）=s（x）

n→∞

例1求幂级数Σnx（x<1）的和

n=1

∞

n

（x）=Σkx，则xsn（x）=Σkx解：记部分和sn

k=1

k=1

n

n

n

k

n

k+1

，sn（x）-xsn（x）=

乙

x

（sx）dx=

∞

n+1

x（1-x）-nxn+1，（1-x）-nxn+1，sn（x）=x因为x<1，所以limsn

n→∞（1-x）（x）=x=s（x）

（1-x）

2逐项微分

幂级数在其收敛区间内其和函数是可导的，且有逐项求导公式

=xΣ（x

n=0x

dx=Σ乙（n+1）xdx=Σ（n+1）x（n+1）x乙Σ乙乙

x

）=x→=x=xΣx→→（1-x）

∞

∞

2n

x

2n

∞

n=0

n=0

n=0

′

∞

′

′

n+1

n=0

n+1

即

x乙s（x）dx=（1-x

）

———————————————————————

上式两端求导得和函数s（x）=1+x（x<1）

（1-x）

∞∞4转化为微分方程∞

n-1nn

s（′x）=Σanx′=Σ→′=Σnanx幂级数在收敛区间内其和函数具有任意阶导数。对于有的幂级anx→

n=0n=1n=0

数在求其和函数时可以先求出幂级数所满足的微分方程及初始条

通过对幂级数的逐项求导将其转化为能求出和函数的幂级数，

件，再通过解微分方程来求和函数。

再积分即可。∞3n

∞xn例4求幂级数Σ的和函数

例2在区间（-1，1）内求幂级数Σn+1x的和函数，并由此计n=0n=1

∞3n

∞

x解：设s（x）=Σ，则

算级数Σn+1的和n=0n=1n·2∞∞3n-13n

∞∞xxns（′x）=Σ′=Σn1n

n=1解：设和函数为s（x），则s（x）=Σn+1x=Σx+xn=0n=1n=1∞3n-2

∞∞xnns（″x）=Σx=x，设s1（x）=Σ1x，逐项求导得Σn=1n=1n=1∞n

x∞x′n-1以上三式相加得s（x）+s（′x）+s（″x）=Σ=e，这是二阶常系1s1（x）=Σx=n=0n!n=1

数的线性微分方程，且满足初始条件s（0）=1，s（′0）=0，xx

′1x两边积分s1（x）dx=dx=-ln（1-x）=s（）-1xx200解此微分方程得s（x）=2ecosx+1e，（-∞<x<+∞）

x所以s（x）=-ln（1-x）

通过以上介绍的求和方法及具体例子，举一反三，对于这部分1内容的学习是很有帮助的。∞

11参考文献：令得x=1得Σn+1n=s=-ln1-=1+ln2n=1n[1]杨宁，周海东等.西南交大.高等数学(下)[M].成都:西南交通大学出版·21-2003.社，

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乙乙

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作者简介：杜道渊（1964-）男，四川南充人，学士，四川理工学院教师，研究方

向为优化理论及高等数学研究。

[2]吴赣昌.高等数学(下)[M].北京:中国人民大学出版社，2007.

[3]毕道旺.无穷级数求和举隅[J].宁波教育学院学报，2009，（4）：76-78.