幂级数的求和方法
·202·
价值工程
幂级数的求和方法
SummationMethodofPowerSeries
杜道渊DuDaoyuan
(四川理工学院理学院,自贡643000)
Zigong643000,China)(SchoolofScience,SichuanUniversityofScience&Engineering,
摘要:本文应用高等数学的知识,介绍了幂级数的几种常见的求和方法及技巧。
Abstract:Bymeansoftherelevantknowledgefromtheadvancedmathematics,somegeneralsummationmethodandtechniquesofpowerseriesare
introducedinthispaper.
关键词:幂级数;收敛区间;求和
Keywords:powerseries;convergenceinterval;summation
中图分类号:G42
文献标识码:A
文章编号:1006-4311(2010)26-0202-01
0引言
幂级数Σanx的求和问题是无穷级数中的重点也是难点,同
n=1∞
n
3逐项积分
幂级数在其收敛区间内其和函数是可积的,且有逐项积分公式a
dx=Σ乙axdx=ΣxΣax乙乙s(x)dx=乙乙x
x
∞
∞
n
x
n
∞
n
n=0
n
n=0
n
n=0
n+1
时具有较强的技巧性。下面谈谈幂级数的几种常见的求和方法。
1计算部分和的极限
根据无穷级数收敛的定义知:部分和的极限如果存在,则该极限就是无穷级数的和。对于幂级数Σanx,设前项和为sn(x),则
n=1∞
n
通过对幂级数的逐项积分将其转化为能求出和函数的幂级数,
再求导即可。
2n
例3求幂级数Σ(n+1)x(x<1)的和函数
n=0
2n解:设s(x)=Σ(n+1)x,两边积分
n=0x∞
∞
limsn(x)=s(x)
n→∞
例1求幂级数Σnx(x<1)的和
n=1
∞
n
(x)=Σkx,则xsn(x)=Σkx解:记部分和sn
k=1
k=1
n
n
n
k
n
k+1
,sn(x)-xsn(x)=
乙
x
(sx)dx=
∞
n+1
x(1-x)-nxn+1,(1-x)-nxn+1,sn(x)=x因为x<1,所以limsn
n→∞(1-x)(x)=x=s(x)
(1-x)
2逐项微分
幂级数在其收敛区间内其和函数是可导的,且有逐项求导公式
=xΣ(x
n=0x
dx=Σ乙(n+1)xdx=Σ(n+1)x(n+1)x乙Σ乙乙
x
)=x→=x=xΣx→→(1-x)
∞
∞
2n
x
2n
∞
n=0
n=0
n=0
′
∞
′
′
n+1
n=0
n+1
即
x乙s(x)dx=(1-x
)
———————————————————————
上式两端求导得和函数s(x)=1+x(x<1)
(1-x)
∞∞4转化为微分方程∞
n-1nn
s(′x)=Σanx′=Σ→′=Σnanx幂级数在收敛区间内其和函数具有任意阶导数。对于有的幂级anx→
n=0n=1n=0
数在求其和函数时可以先求出幂级数所满足的微分方程及初始条
通过对幂级数的逐项求导将其转化为能求出和函数的幂级数,
件,再通过解微分方程来求和函数。
再积分即可。∞3n
∞xn例4求幂级数Σ的和函数
例2在区间(-1,1)内求幂级数Σn+1x的和函数,并由此计n=0n=1
∞3n
∞
x解:设s(x)=Σ,则
算级数Σn+1的和n=0n=1n·2∞∞3n-13n
∞∞xxns(′x)=Σ′=Σn1n
n=1解:设和函数为s(x),则s(x)=Σn+1x=Σx+xn=0n=1n=1∞3n-2
∞∞xnns(″x)=Σx=x,设s1(x)=Σ1x,逐项求导得Σn=1n=1n=1∞n
x∞x′n-1以上三式相加得s(x)+s(′x)+s(″x)=Σ=e,这是二阶常系1s1(x)=Σx=n=0n!n=1
数的线性微分方程,且满足初始条件s(0)=1,s(′0)=0,xx
′1x两边积分s1(x)dx=dx=-ln(1-x)=s()-1xx200解此微分方程得s(x)=2ecosx+1e,(-∞<x<+∞)
x所以s(x)=-ln(1-x)
通过以上介绍的求和方法及具体例子,举一反三,对于这部分1内容的学习是很有帮助的。∞
11参考文献:令得x=1得Σn+1n=s=-ln1-=1+ln2n=1n[1]杨宁,周海东等.西南交大.高等数学(下)[M].成都:西南交通大学出版·21-2003.社,
→→
→→
→→
乙乙
→→
作者简介:杜道渊(1964-)男,四川南充人,学士,四川理工学院教师,研究方
向为优化理论及高等数学研究。
[2]吴赣昌.高等数学(下)[M].北京:中国人民大学出版社,2007.
[3]毕道旺.无穷级数求和举隅[J].宁波教育学院学报,2009,(4):76-78.
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