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尺规作图三等分任意角和构造正十七边形

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尺规作图三等分任意和构造正十七边形

饶剑明

摘要：将角的等分问题转化为线段的等分问题，从而实现尺规作图的任意等分任意角。对线段的任意等分是很容易做到的，就是根据平行线间线段对应成比例。只要将角的等分转换成线段的段分问题就自然解决了，我们知道，角和线的关系在圆中可以实现，在一个圆中等角对应的弦长相等。从而实现角的三等分和正十七边形的尺规作法。 关键词：三等分角 平分线 圆弧 正十七边形

一、任意角的三等分

设角为 ，作角 的平分线。半径为a的圆弧，

所对的弦长为 2

M1 2asin

4

角所对的弦长 4

M2 2asin

8

角所对的弦长为 3

M3 2asin。

6

42M2 M3 M1 33

42

M2 M3 M1。 33

2 4

当 取不同值时sin()，sin()和sin()的近似值如下：

34638

由于当 很小时有sin ，即有

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