研究进展

王相海等：基于多尺度几何分析的图像编码研究进展

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关键词

图像编码；多尺度几何分析；脊波变换；曲波变换；Ｂａｎｄｅｌｅｔ变换；轮廓波变换；小波变换

中图法分类号ＴＰ３９１

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引言近１０年来，小波变换成为分析和处理自然图像

的强有力工具口］，并已被应用于ＭＰＥＧ－４和ＪＰＥＧ２０００

标准［ｚ］．小波在表示信号的点奇异性方面具有最优的逼近性能，而对于二维图像、或者更高维的数据，其稀疏表示能力则比较有限．二维可分离小波基函数的支撑区间为一个正方形且各向同性，只能表示二维或高维信号在竖直、水平和对角线方向的直线奇异性．然而，自然界中多数物体所具有的平滑边缘，使得自然图像的奇异点往往不是独立分布的，而是聚集成具有某些几何特征的奇异曲线，小波各向同性的基函数不能有效地利用数据本身的几何特征

来捕获图像中沿着边缘方向的线奇异，因此，小波无

法为图像提供最优的或者最稀疏的表示．近年来在小波理论基础之上发展了一种称为“多尺度几何分

析（ｍｕｈｉｓｃａｌｅｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｎａｌｙｓｉｓ，ＭＧＡ）”【３３的理论，

用以处理某些高维空间数据，并为其提供多尺度、多方向的表示．

目前，所提出的多尺度几何变换主要包括脊波（ｒｉｄｇｅｌｅｔ）变换［４－ｓ］、曲波（ｃｕｒｖｅｌｅｔ）变换［６。７］、Ｂａｎｄｅｌｅｔｓ变换［８曲］、小线（ｂｅａｍｌｅｔｓ）变换［１０］、Ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｌｅｔｓ变换‘１１］、轮廓波（ｃｏｎｔｏｕｒｔｅｔ）变换‘１引、ＳｈｅａｒｌｅｔＥｌ３３变换、Ｓｕｒｆａｃｅｌｅｔｓ变换口４１等．同时，Ｃｏｒｔｅｘ变换［１５］、

Ｓｔｅｅｒａｂｌｅ

Ｐｙｒａｍｉｄ变换［１６］、２一Ｄ方向小波变换‘”］、

Ｂｒｕｓｈｌｅｔｓ变换［１８３和复数小波变换ｎ９］等也是多尺度、多方向的变换．这些多尺度变换具有很好的图像各向异性特征，成为处理二维及更高维数据的更优算法．有关这些多尺度几何变换的详细理论分析参

见文献［２０］．

本文以多尺度几何分析的研究进展为主线，对基于多尺度几何分析的静态图像编码进行概括阐述和比较研究，同时对各类算法的优势和存在的不足进行分析和讨论，最后对其未来的发展进行了展望．

Ｉ

小波变换的方向特性及其局限性

对于由两个可分离的一维小波基通过张量积扩

展而生成的标准二维小波，每个尺度下需要沿着水平和竖直方向各进行一次滤波，这样二维可分离小

万方数据

波基只在水平和竖直方向才有消失矩．图１给出了

一阶２一ＤＤａｕｂｅｃｈｉｅｓ９１７变换各细节空间所对应的小波基图像．从图１可以看出，３种基分别表现出沿

竖直、水平和对角线方向的几何特征．当这些基与图像中具有相同或相近方向特征的像素（段）重合时，就会产生大幅值的系数，从而捕获该像素处的几何奇异性特征．为了说明这一点，图２给出了“Ｃｒｏｓｓｅｓ”图像经一阶Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ９／７变换后的图像．可以发现，ＨＩ。，ＬＨ和ＨＨ三个子带各自捕获到了不同方向的奇异特征．人们对基于小波变幻的静态图像编码

进行了深入的研究，产生了诸如ＥＺＷ２１Ｊ，ＳＰＩＨ个２

２｜，

ＳＰＥＣＫ［２３１和ＥＢＣＯＴ口４３等多种性能优良的编码

算法．

Ｆｉｇ．１

Ｔｈｅｉｍａｇｅｏｆ２－ＤＤａｕｂｅｃｈｉｅｓ

９１７ｗａｖｅｌｅｔｂａｓｉｓ．

（ａ）ＬＨｓｕｂｂａｎｄ；（ｂ）ＨＩ。ｓｕｂｂａｎｄ；ａｎｄ（ｃ）ＨＨｓｕｂｂａｎｄ．

图１二维Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ９１７小波基图像．（ａ）ＬＨ子带；

（ｂ）ＨＩ。子带；（ｃ）ＨＨ子带

Ｆｉｇ．２

Ｉｍａｇｅｓｏｆｏｒｉｇｉｎａｌ“Ｃｒｏｓｓｅｓ”ａｎｄ

ｉｔｓｗａｖｅｌｅｔ

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ．（ａ）Ｏｒｉｇｉｎａｌｉｍａｇｅａｎｄ（ｂ）ｏｎｅ－ｌｅｖｅｌｗａｖｅｌｅｔｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ．

图２“Ｃｒｏｓｓｅｓ”图像及其小波变换后的结果图像．（ａ）

源图像；（ｂ）一阶小波变换后的图像

尽管小波在表示二维或更高维信号时的逼近性

能优于三角基，但却不能达到理论上的最优逼近阶［６］，比如在表示图像中普遍存在的多方向直线奇异和曲线奇异时，则显得无能为力，它不能为自然图像以及具有高维奇异特征的数据提供一种稀疏表

示．如图３所示，为了逼近一条具有曲线奇异的边