天元中考复读

∴二次函数y＝x2＋3x＋2的一个“伴侣二次函数”为

y＝－(x＋2)2=－x2－4x－4

同理可求以（－1，0）为顶点且经过（－31

2，－4

）的抛物线的函数关系式．

即二次函数y＝x2

＋3x＋2的另一个“伴侣二次函数”为

y＝－(x＋1)2

=－x2

－2x－1 7分

（3）设y＝a1(x＋m)2＋n，其顶点为（－m，n）；

y＝a2(x＋h)2＋k，其顶点为（－h，k）．

根据“伴侣二次函数”定义可得 k＝a1(－h＋m)2

＋n，

n＝a2(－m＋h)2

＋k． ∴a1(－h＋m)2＝－a2(－m＋h)2

． 当－h≠m时，a1＝－a2

当－h＝m时，a1、a2为任意不为零的实数。 10分

27．（本题10分）

解：（1）如图，作MH⊥AN，垂足为H．

在Rt△MAH中，∠

A＝

45°， ∴MH＝

2AM＝2AN．∵12MN·AB＝1

2

AN·MH， ∴6MN＝AN·

2

2

AN，即AN2＝2MN． 在Rt△ABN中，AB2＋BN2＝AN2 ，36＋

MN 22＝ AN2 即36＋ MN

22＝62MN ∴MN 1＝122＋12（舍去），MN 2＝122－12． 4分 （2）如图①所示，当点B在点M右侧时．易证△MNH∽△ANB．

①

∴

MNANMHAB

MN·AB＝AN·MH，即6MN＝AN·MH． 又∵MB＝2，AB＝6，∴AM2＋6＝10 ∴MH＝

2

2

AM＝5， ∴6MN＝25AN，

∴6(2＋BN)＝2AN． ∴BN＝

5

3

－2． 又∵在Rt△ABN中，AB2＋BN2＝AN2． 即 36＋

5 3AN－2

2＝ AN2．解得：AN＝5， ∴BN＝5

3

－2＝3．∴MN＝2＋3＝5．

②

如图②所示，当点B在点M左侧时．

易证△MNH∽△ANB，∴MNAN＝MH

AB

∴MN·AB＝AN·MH，即6MN＝AN·MH． ∵MB＝2，AB＝6，∴AM＝2＋6＝，

∴MH2

2

AM＝25，∴6MN＝25AN，∴6(BN－2)＝5AN， ∴BN＝

5

3

＋2． 又∵在Rt△ABN中，AB2＋BN2＝AN2，即 36＋53AN＋2

2＝AN2． 解得AN＝5．∴BN＝

5

3

＋2＝12，∴MN＝12－2＝10． 综上：若BM＝2，MN＝10或5． 10分

注：本题也可作∠BAC＝45°，利用全等、相似，进而求解．图形提

示如下：图①对应第（1）问，图②、③对应第（2）问．

①

— 2 —

②

③