高等数学

厶６ｅｓｇ配ｅ积分的几个充要条件

口

石宁生１

金

瑾２

（１，２毕节师专小教系，贵州

毕节

５５１７００）

摘

要：根据＆６ｅ路妣积分的概念，对厶６ｅ唱ｚ‘ｅ积分作了进一步的研究，并给出了关于厶６ｅｓｇｗ积分

的几个充要条件。

关键词：Ｒ￡ｅ啪ｎｎ积分；厶６ｅ曙“ｅ积分；充要条件

中圈分类号：０

１７ｌ

文章标识码：Ａ文章编号：１６７２—０２９６（２００３）Ｏｌ一００５９一０３

ＴｈｅｓｅｖｅｒａＩｎｅｃｅｓｓａｒｙａｎｄ

ｓｕｍｃｉｅｎｔ

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆＬｅｂｅｓｇｕｅｉｎｔｅｇｒａｌ

ＳｈｉＮｉｎｇｓｈｅｎｇ

Ｊｉｎｊｉｎ

（ＰｒｉｍａｒｙＥｅｄｕｃａｔｉｏｎＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＢｉｊｉｅ

ｔｅａｃｈｅｒｓ

Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｂｉｊｉｅ，Ｇｕｉｚｈｏｕ，５５１７００Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＡｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅＬｅｂｅｓｇｕｅｉｎｔｅｇｒａｌｃｏｎｃｅｐｔ，ｔｈｉ８ｐａｐｅｒｍａｋｅｓｒｅｓｅａｒｃｈｏｎ

Ｌｅｂｅｓｇｕｅｉｎｔｅｇｒａｌ，

ａｎｄｇｉｖｅｓｓｅｖｅｒａｌｎｅｃｅｓｓａｒｙａｎｄｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆＬｅｂｅｓｇｕｅｉｎｔｅｇｒａｌ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｒｉｅｍａｎｎｉｎｔｅｇｒａｌ；Ｌｅｂｅｓｇｕｅｉｎｔｅ铲ａｌ；Ｎｅｃｅｓｓａｒ）ｒａｎｄｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．

引理ｌ

设ｆ（ｘ）是［ａ，ｂ］上的有界函数，若ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上Ｒｉｅｍａｎｎ可积，则ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上Ｌｅｂｅｓｇｌｌｅ

，ｂ

柚

可积，且（Ｌ）Ｉｆ（ｘ）ｄｘ＝（Ｒ）ｌ

ｆ（ｘ）ｄｘ。

Ｊ－

Ｊ‘

引理２

若ｆ（ｘ）是Ｅ上的可测函数，则函数ｆ（ｘ）在Ｅ上Ｌｅｂｅｓｇｕｅ可积的充要条件是Ｉｆ（ｘ）ｆ在Ｅ上

Ｌｅｂｅｓ异ｕｅ可积。

引理１、引理２在参考文献中均有证明。定理１

设ｆ（ｘ）是［ａ，ｂ］上的非负函数，ｂ为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的唯一瑕点，则ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上Ｌｅｂｅｓｇｕｅ

可积的充要条件是ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上广义Ｒｉｅｍａｎｎ可积，且

ｒｂ

ｒｂ

（Ｌ）ｌｆ（ｘ）ｄｘ＝（Ｒ）Ｉ

ｆ（ｘ）ｄｘ。

Ｊ

ａ

Ｊ‘

证明充分性。因ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上广义Ｒｉｅｍａｎｎ可积，且ｆ（ｘ）是［ａ，ｂ］上的非负函数，ｂ为ｆ（ｘ）在［ａ，

ｂ］上的唯一瑕点。设

ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）≤ｎ；

ｎ

，ｆ（ｘ）＞ｎ。

作者简介：石宁生，男，１９“年生，贵州威宁人，毕节师范高等专科学校小教系讲师，主要研究方向：实分析。

金瑾。男，１９６３年生，贵州大方人，毕节师范高等专科学校小教系副教授，主要研究方向：实分析。

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