习题1 1

1 设A ( 5) (5 ) B [ 10 3) 写出A B A B A\B及A\(A\B)的表达式

解 A B ( 3) (5 )

A B [ 10 5)

A\B ( 10) (5 ) A\(A\B) [ 10 5)

2 设A、B是任意两个集合 证明对偶律 (A B)C AC BC

证明 因为

x (A B)C x A B x A或x B x AC或x BC x AC BC 所以 (A B)C AC BC

3 设映射f X Y A X B X 证明

(1)f(A B) f(A) f(B) (2)f(A B) f(A) f(B) 证明 因为

y f(A B) x A B 使f(x) y

(因为x A或x B) y f(A)或y f(B)

y f(A) f(B) 所以 f(A B) f(A) f(B) (2)因为

y f(A B) x A B 使f(x) y (因为x A且x B) y f(A)且y f(B) y f(A) f(B)

所以 f(A B) f(A) f(B)

4 设映射f X Y 若存在一个映射g Y X 使g f IX f g IY 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射 即对于每一个x X 有IX x x 对于每一个y Y 有IY y y 证明 f是双射 且g是f的逆映射 g f 1

证明 因为对于任意的y Y 有x g(y) X 且f(x) f[g(y)] Iy y y 即Y中任意元素都是X中某元素的像 所以f为X到Y的满射

又因为对于任意的x1 x2 必有f(x1) f(x2) 否则若f(x1) f(x2) g[ f(x1)] g[f(x2)] x1 x2

因此f既是单射 又是满射 即f是双射

对于映射g Y X 因为对每个y Y 有g(y) x X 且满足f(x) f[g(y)] Iy y y 按逆映射的定义 g是f的逆映射