双曲线方程典例分析
双曲线方程典例分析
一、求双曲线的标准方程
abab
关概念及性质再 结合其它知识直接求出a、b或利用待定系数法.
x
22
求双曲线的标准方程
y
22
1或
y
22
x
22
，通常是利用双曲线的有 1（a、b>0）
例1 求与双曲线x2 2y2 2有公共渐近线，且过点M(2, 2)的双曲线的共轭双曲
线方程.
解 令与双曲线
x
2
22
y
2
2
1有公共渐近线的双曲线系方程为
2
xy
2
2
22
y
2
k，将点
M(2, 2)代入，得k
2
( 2) 2，∴双曲线方程为
x
2
x
2
4
1，由共轭双曲
线的定义，可得此双曲线的共轭双曲线方程为
1. 42
评 此例是“求与已知双曲线共渐近线的双曲线方程”类型的题.一般地，与双曲线yb
22
y
2
xa
22
1有公共渐近线的双曲线的方程可设为
xa
22
xa
22
yb
22
；有公 k（kR，且k≠0）
共焦点的双曲线方程可设为
y
2
2
2
k a
1，本题用的是待定系数法.
例2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为3，它的两焦点分别为F1、F2，直线l过F2
且与直线F1F2的夹角为 ，且tan
212
，l与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线
段PF2与双曲线的交点为Q，且PQ:QF2 2:1，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.
解 以F1F2的中点为原点，F1、F2所在直线为x轴建立坐标系，则所求双曲线方程为x
22
ab
轴交点P(0,
y
22
，设F2（c，0），不妨设l的方程为y 1（a>0，b>0）
2122
4c
c)，由定比分点坐标公式，得Q点的坐标为
2
21232c,
(x c)，它与y216
c)，由点Q
(
在双曲线上可得
9a36b2
y2
1. ∴a 1，b 3，∴双曲线方程为x 3
评 此例用的是直接法.
21c
22
1，又ab 3，
二、双曲线定义的应用 1、第一定义的应用 例3 设F1、F2为双曲线F1PF2=90，求ΔF1PF2的面积.
解 由双曲线的第一定义知，PF1 PF2 4，两边平方，得PF1
2
x
2
4
y 1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠
2
PF2
2
2PF1PF2 16.
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