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泰勒公式在计算及证明由舫应用

浙江树人大学基础部

苏久亮

［摘要］本文结合实例，介绍了泰勒公式在计算及证明中的应用。

界的估计［关键词】泰勒公式近似计算极限不等式中值公式极值

在大学《高等数学》课程中，黍勒公式这一节学生普遍感到内容较

难、不易掌握。高等数学教材中对泰勒公式应用涉及的较少且零散，本文结合一些能给学生留下深刻印象的典型实例，介绍泰勒公式在计算及证明中的应用。

首先回顾基础知识：

若ｆ（ｘ）在包含Ｘｏ的区间（ａ，ｂ）ｌ－ｎ＋ｌ阶可导，则对ｘＥｈｂ），有

ｆ（ｘ）－－－－ｆ（ｘｏ）＋晋产（ｘ一埘＋暑笋（ｘ一目２＋…＋里挚（ｘ一内ｎ＋器（ｘ—ｘｏ）…

其中｛是介于Ｘｏ，Ｘ之间的某个值。上式称为ｆｉｘ）按（ｘ一均的幂展开的带有拉格朗日型余项的ｎ阶泰勒公式。

若ｆ（ｘ）在Ｘｏ处ｎ阶可导，则在Ｘｏ的邻域内有

ｔ（ｘ）－－＇ｆ（ｘ０＋晋产ｘ一埘＋鼍笋（ｘ一均２＋…＋尘掣（ｘ一均“＋。【（ｘ一内ｎ】

上式称为ｆ∞按ｘ一蛐的幂展开的带有佩亚诺型余项的ｎ阶泰勒公

式。

一、泰勒公式在计算中的应用

１．近似计算

牟

牟

例１当Ｉｘ

Ｉ很小时，推出（｛兰｝）３一（告｝）’的简单的近似公式。

上

上

上

上

解：（告）＿－３（鲁）３＝（ｔ＋鲁）３一（，一鲁）３

２【１＋丽２ｘ可］－ｆ１一可２ｘ可】＿丽４可ｘ

一４．ｘ，当ＩｘＩ很小时

２．求极限

一等

例２

ｌ。ｉ。ｒａ币ｃｏ面ｓｘ－ｅ两

一生

解：把ｃｏｓｘ，ｅ２，ｌｎ（１一ｘ）在ｘ＝０处的泰勒公式

ｃ。ｓｘ＝１一着＋斋＋。（ｘ４），ｅｌｎ（１一，（）＝（一ｘ）一单＋ｏ（ｘ２）代入，得

２＝１一事＋詈＋。（ｘ４），

．

—ｍ—ｘ２［ｘ＋ｌｎ—（１－ｘ）］２粤一＿二ｉ磊ｒ２丁

ｃｏｓｘ—ｅ‘

㈣Ｈ～，．（上～１，，ｉｘ４＋０（ｘ３２４

、

１．

８

】

Ｚ

注：（１）此题不宜使用洛必达法则。

（２）使用泰勒公式展开时，需通过观察展开到合适的阶数。二、泰勒公式在证明中的应用１．证明不等式

例３求证：若ＶｘＥ（ａ，ｂ）有ｆ’（ｘ）≥０，则对任意ｎ个数ｘｌ，ｘ２，…，ｘｎ∈（ａ，ｂ）壮！翌！：：ｊＫ）≤亟）±堑进二±监

ｎ

ｎ

证：

令ｘ萨垫塾蔓，显然ＸｏＥ（ａ＇ｂ）

将ｆ（ｘ）在Ｘｏ处展成一阶泰勒公式，并将Ｘｌｆ（ｘ。）：ｆ（内＋ｆ㈨（ｘｊ一硒＋掣（ｘ。一ｘｏ）：其中§，介于硒；，之间

ｓＸ２，…，ｘｎ分别代入，有

≥“ｘｏ）＋ｆ（ｘ０）“，一ｘ。）

ｎ＇－－２一ｆ（ｘ，）≥ｆ（目＋｝萋ｆ㈨（ｐ瑚＝ｆ（砌得证。

一般地’可证得：

ＶｘＥａ，ｂ）有ｆ’（ｘ）≥Ｏ，则对任意ｎ个数ＸｂＸ：，…，Ｘｎ∈（ａ，ｂ）有ｆ弧Ｉｘｌ＋入２ｘ２＋…＋ｘｎｘ。≤ｘｌｆ（ｘ】）＋入娥ｘ２）＋‘‘‘＋ｘ，《ｘ０

其中常数Ｍ，ｋｚ，…，入。ｅ（ｏ，１）且艺ｘ．＝ｌ。

２，关于界的估计

例４设ｆ（ｘ）在［ｏ，１］上二阶可导，且Ｉｆ（ｘ）ｌ≤１，ｐ（ｘ）ｌ≤２求证：当０＜ｘ＜１时ｌｒ（ｘ）Ｉ≤３万方数据

让：

对ｘ∈（ｏ，Ｉ油泰勒公式，有

“０）＝ｆ（ｘ）＋ｆｏ（）（ｏ—ｘ）＋掣（０一ｘ）ｚ

其中ｏ＜毫。＜ｘ

“１）：ｆ∞＋ｆ（ｘ）（１一。）＋．！！掣（１一ｘ）：其中ｘ＜￡：＜ｌ

厶

两式相减得“１）一ｆ（０）＝Ｐ（ｘ）＋｝【（１一ｘ）叩’（∈２）一ｘ２ｆｔ’（∈，）］

从而／ｉｌｒ（ｘ）ｆ≤Ｉｆｒｏ）ｆ＋ｆｆ（Ｉ）ｆ＋导［（１一ｘ）２ｌｅ‘廷２）ｆ—ｘ２ｌｆ。廷。）ｉ】

≤２＋［（１一ｘ）２＋ｘ２】≤３

得证。

一般地，可证得：

若ｆ（ｘ）在［ｏ，１】上二阶可导，且Ｉｆ（ｘ）Ｉ≤ａ，∽（ｘ）Ｉ≤ｂ

则当Ｏ＜ｘ＜ｌ时，Ｉｆ（ｘ）ｌ≤２ａ＋孚

３．证明中值公式

例５设ｆｉｘ）在【ａ，ｂ］上三阶可导

求证：ｊ∈∈（ａ，ｂ）使得ｆｉｂ）＝ｆ（ａ）卵（里笋）ｏ）一ａ）＋奇ｒ¨（∈）（ｂ一妒

证：

设ｋ为使下式成立的实数：

“ｂ）一ｆ（ａ）一ｒ（旦笋）ｏ）一ａ）一奇ｏｏ）一ａ）３＝Ｏ

下面只需证：ｊ∈∈（ａ＇ｂ）使得ｋ＝ｆ”固。

令ｄｘ）＝ｆｉｘ）一ｆ（ａ）一ｆ（旦；∑）（ｘ—ａ）一—击广ｋ（ｘ—ａ）３则ｇ（ａ）＝ｏ＝ｇ（ｂ）

根据罗尔定理，ｊＣ∈（ａ，ｂ）使得ｇ’（ｃ）＝Ｏ即

ｆ（ｃ）＝ｆ（半）＋与蛳（旦笋）＋｝（ｃ—ａ）２

注意到ｆ（ｃ）在旦＃处的泰勒公式：

Ｚ

雌）＝ｆ（半一）＋粤产趴尝争）＋华学其中学＜妇

由上面两式得证。

４．判断函数的极值点

例６设“ｘ）在Ｘｏ处ｎ阶可导，且

ｆｏ㈦＝Ｏ（ｉ＝１，２，…，ｎ一１），州曲≠０

求证：（１）当ｎ为偶数时，ｘｏ是极值点。且当Ｆ。（曲＞Ｏ时，Ｘｏ是极小值

点；当烈妇＜Ｏ时，ｘｏ是极大值点。

（２１当ｎ为奇数时，Ｘｏ不是极值点。证：

在）【０的邻域内，由泰勒公式与已知条件，有

ｆ（ｘ）＝ｆＣｘ０）＋！—ｌ；丝（ｘ－ｘｏ）“＋ｏ【（ｘ—ｘｏ）ｎ］

即必二旦出：型盈＋！【ｆ！＝出’］

（ｘ一潮“

ｎ！

（ｘ—ｘ拶’

则当Ｉｘ一）【０

ｌ充分小时，粤上掣与ｐ㈨同号，从而得证。

注：此例实际上是下面判定极值的第二充分条件的推广。定理（判定极值的第二充分条件）

设ｆ（ｘ）在Ｘｏ处二阶可导且Ｐ（瑚＝Ｏ，ｆ’（ｘｏ）≠Ｏ则

（１）当ｒ’（甸＞０时，ｆ（ｘ）在ｘｏ处取得极小值；（２）当ｆ’（瑚（０时，ｆ（ｘ）在Ｘｏ处取得极大值。三、结束语

本文介绍了泰勒公式在计算及证明中的一些应用。在解决实际问题的过程中，还耍做到举一反三，灵活应用，这对于解题能力的提高大有裨益。

参考文献

［１］同济大学数学系高等数学（第六版）［Ｍ］北京：高等教育出版社，

２００７．

［２］刘玉琏，傅沛仁等．数学分析讲义（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社．２００８

［３］裴礼文．数学分析中的典型问题与方＂法ＩＭＩ．北京：高等教育出版社．２００６．

［４］施光燕．高等数学讲稿［Ｍ］．大连：大连理工大学出版社，２００８