放缩法是不等式证明中一种常用的方法,也是一种非常重要的方法。在证明过程中,适当地进行放缩,可以化繁为简、化难为易,达到事半功倍的效果。但放缩的尺度较难把握,常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。所以对放缩法的准确把握,需要学生有较强的分析判断能力、探究问题、研究问题的能力。而这正是高考能力立意的宗旨。也就成为了考察学生数学素质的一个热点,

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山重水复疑无路，柳暗花明又一村例谈放缩法在 2 年广东文科数学第 2题中的应用 0 1 0 1 黄伟 (东省汕头市澄海中学数学组，广东汕头 5 5 0 )广 1 8 0 放缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重母进行适当放缩，以便于加减相消。

要的方法。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、 化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的尺度较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。所以对放 ‘

常见的放缩方向： ( - )n 1,研 1 2 32-) n ( 1 j ,

‘n—,—-) (1 n 面 ‘n n2雏= (+) J 22￣

,

上述各种常用放缩法大部分是用在数列求和的不等式证明

缩法的准确把握，需要学生有较强的分析判断能力、探究问中，通过这些放缩，既可以达到证明不等式的目的，又能够利题、研究问题的能力。而这正是高考能力立意的宗旨。也就成用裂项相消达到求和的效果。下面我们再看看利用该方法进行 为了考察学生数学素质的一个热点，以考察放缩法与数列不等处理的几类题目。式成为今年广东文科数学压轴题的一个亮点，下文借助对该题 1构造“”相消形式 .和通过把一个数列的一项放缩为另一个数列的两项或几项， 目的分析，探讨放缩法证题中的列项相消法。 例： (0 0广东高考文科第 2题 )已知曲线：= 2 1年 1 Y一，点其和互相抵消，这样由繁到简，以达到证明目的。具体步骤如下：第一步将一般项裂项，即探索关系一一或>一一 I 等；第二步累加相消，再进一步放缩即得。尤其要关注恒等式 ( )试写出曲线在点处的切线与轴的交点的 1坐标； a:1 (日+d一 2…+口一 1 口+一1 ( a) ( ) 3+ J 。 ( )>,> )曲线上的点=1, , ( o 0是 ,…) 2

( )若原点 o(,) 2 oO到的距离与线段 得最大值，试求点的坐标 (, ) ;

的长度之比取

例1:若 =

一) 1,求证：

十 1 . ≥ + 1<2 2 ,

a

a l 3

Ⅱ

’

N )

(3)设与为两个给定的不同的正整数， X n 与是满足 ( 2)中条件的点只的坐标，证明：

证明：‘a:4 (~1 (≥2, . Sn ) n )

窆、 l/

一

I l:2) 一 (l I√,,…

’‘【+。 1+ 1+。‘‘++ j+两+ .+而 1击+。 .。,+ .

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解： ( )略 ( (,, ); 1 0一 ) ( )略 ( 2点的坐标为 ( ) , ) —

()一 1+ -哇 1

一

一；

点评：解题过程中根据形式特点选择明确的放缩方向 (— n1 -) n,利用裂项相消法以达到证题目的。 2构遣“”相消的形式 .积

(喜一 lI一 I 3 l = )J骞 =

此种方法可类比和相消得形式。利用恒等式 I一而 l√√ a n口 。

等… a,加灵运。’ l并以活用旦 引斜率为

要证

言 i

一

√ l ) I~ I=, I , 2… I I√一

例 2: (2009年广东理科 2 1题 )已知曲线 : 2x y= (=… .一 n+ 0 l ).从点 P一，)曲线 n 2. (1向 o (,) )的切线，切点为 ( Y ) 0, . ( )求数列 ) 1与 )的通项公式；

只须证 l√一 1 √ .

故有

喜=

+ _￣){ 0i1一 )- +I十 ( . l ,

()证明： 2 n

…z‘盖一√ .,

(节选) )—

解： ()X 1 n

;Y

一 (

即缶 , 所以要证明不等式可转化为证明l一鬲 1√√ l√√<一 l 只须证 1

(证：/::, 2明.// ) . 工 .互 I X+ - +

l .m≠ k,,‘ 1

只须证

习可、

上面不等式显然成立， 厶} ( 1 m+一 J ) f l x — 一

雨 I<

一

(= 1 )青

(X , n)× X3 c×××;× 1 c× - c× - -1 2 2 三三 4… 2 3 4 5 ’

: 2 n 2 n+l 2 n+ 1,

从上面的证明过程中，我们可以发现，在使用放缩法时， 如何确定放缩目标

尤为重要，要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点，先使用分析法，探索出我们

.

.

t…一 ’,‘

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点评：本题证明的关键在于‘ 这一步的放缩，即兼顾到最后要证明不等号的方向，同时也能通过累乘消去中需要放缩的目标为骞 。而在对该目标不等式进行证明时， 间若干项，“箭双雕”。另外，要证明的不等式右边含有 一可以把不等式的左边 i 1看成数列 )的前项 S和。对于通项根号，所以在开始证明之前，应考虑不等式两边同时平方， 公式为分式形式时，我们可以考虑采用裂项相消法，就是将分其 e-￣“I 3 5 e X X X…”利用 x= n代人即可，另一处 -

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