1

1 a,

f(a) a, a

即

f(b) b, 1 1 b.

b

于是，a,b是方程x2 x+1=0的实根，而此方程无实根，故此时不存在实数a,b满足条件. (iii) 当a∈(0,1),b∈[1,+∞)时,显然，1∈[a,b],而f(1)=0,所以0∈[a,b]，矛盾. 故故此时不存在实数a,b满足条件.

综上可知，不存在实数a,b(a<b)满足条件.

(2)若存在实数a,b(a<b), 使得函数的定义域是[a,b]，值域是[ma,mb](m≠0)易得m＞0,a＞0. 仿照(1)的解答，当a,b∈(0,1)或a∈(0,1),b∈[1,+∞)时，满足条件的a,b不存在. 1

只有当a,b∈(1,+∞)时，f(x)=1(1,+∞)上为增函数，有

x

1

1 ma,

f(a) ma, a

即

1 f(b) mb, 1 mb. b

于是，a,b是方程mx2－x+1=0的两个大于1的实数根.所以，

m 0, 1 4m 0,

1

只须解得0<m< 1 4m 0, 14 1, x

2 1 2m.

1因此，m的取值范围是0<m<.

4

说明 本题首先要注意题目的隐含条件a＞0，因为函数的值域是[0, ).

例2 已知常数a>0，在矩形ABCD中，AB=4, BC=4a，O为AB的中点，E、F、G分BECFDG

别在BC、CD、DA上移动，且 = = P为CE与OF的交点. 问是否存在两

BCCDDA个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存

在，请说明理由.(2003年全国高考江苏卷试题)

分析 根据题设满足的条件, 首先求出动点P的轨迹方程，根据轨迹是否是椭圆，就可断定是否存在两个定点(椭圆的两个焦点)， 使得P到这两点的距离的和为定值． BECFDG

解 按题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2, 4a).BC= CD= DA = k(0≤k≤1).由此有E(2,4ak),F(2-4k, 4a),G(-2, 4a-4ak).

直线OF的方程为2ax+(2k-1)y=0, ① 直线GE的方程为-a(2k-1)x+ y-2a=0, ② 由①②消去参数k得点P(x,y)坐标满足方程2a2x2+y2-2ay

=0,