傅秋桃:谈谈泰勒公式的几点应用

3x-1(3x)3+0(x3)f(0)+f (0)x+f (0)x2+0(x2)

=Lim3!2+x 032

xx1

=Lim3(3+f(0))x+f (0)x2+x 0x

+x2x2

3

-x+0(x3)

22

其中 (a,b),再将(2),(3)代入(1)式得:

ba

f(x)dx=(b-a)f

1

+(b-a)3f ( ).224

4 求函数的麦克劳林展开式

例4

求f(x)=

在x=0处的麦

(2x-3)(x2+4)

所以f(0)=-3 f (0)=0 f (0)=9于是Lim

x 0

1x2+0(x2)

=Lim23+f(0)+f (0)x+x 0x292=Lim23-3+x+0(x2)=

x 0x

2

克劳林展开式[4].

解

首先作分解2x

-2

2x-3x+4

23

121-x3

n=0

f(x)=

3 用泰勒公式证明积分等式

例3 设f(x)在[a,b]上具有连续的二阶导数,证明:在(a,b)内存在 ,使f(x)dx=(b-a)

a

再转化成:f(x)=-

-

x

4x211+

n

x24

b

=-3=-

n=0n+1

2x

x-n

n

-4

(-1)n

f

1a+b+(b-a)3f ( )[3].242

证明 由泰勒公式f(x)

=

f

a+b

+2

2

n=0

23

n=0

(-1)n2n+1

x (|x|<4n+13)2

此外,泰勒公式还在判断级数的收敛性、求近似值、求解行列式中有着广泛的应用,这里就不再一一叙述.

f

a+b

2

x-a+b

+2

1f ( )x-22

[参考文献]

[1]同济大学应用数学系.高等数学:上[M].北京:高等教育出版社,2005.

[2]吉米多维奇.数学分析习题集题解:二[M].济南:山东科学技术出版社,1987.

[3]钱吉林.数学分析题解精粹[M].武汉:崇文书局出版社,2003.

[4]华中师大数学系.数学分析:下[M].武汉:华中师范大学出版社,2001.

a+b

其中 在x与之间,从a到b积分得:

2

f(x)dx=f

a+ba+bx-dx+f

( )x-dx(1)

222a+bx-dx=0(2)2a+b

由积分中值定理:f ( )x-dx=

ab

b

2

ab

a

a

b

2

a

b

a+ba+b

(b-a)+f 22

编校:胡军福

f ( )

1a+b3

(x-)

32

ba

=

1f ( )(b-a)3

12

(3)

ApplicationofTaylor'sFormula

FUQiu-tao

(SchoolofMathsandStatistics,HuazhongNormalUniversity,Wuhan430073,China)

Abstract:Taylor'sformulaisaveryimportantoneinhighermathematics.Inthispaper,theauthoristotalkabouttheapplicationofTaylor'smeanvaluetheoreminfouraspects:theprovingoftheinequality,calculationoffunctionLimit,theprovingoftheintegralequalityandMaclaurinexpandableformulaoffunction.

Keywords:Taylor'sformula;Maclaurinformula;application

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