毕业论文

２００８年

《和田师范专科学校学报》（汉文综合版）

Ｊｕｌ．２００８第２８卷第一期总第５１期

浅谈泰勒公式的应用

刘云王阳崔春红

（河北农业大学中兽医学院河北定州０７３０００）［摘

要］泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用，它可以应

时，ｆ（Ｘｏ）是／（ｘ）的极小（大）值。但如果此时ｆ’（‰）＝０，此方法不能判别％是否为极值点，可用泰勒公式。

比如：若，Ｏ）在点％处一、二、三阶导数全为０，由泰勒公式

ｆ（ｘ阿（砂掣”％）４＋。（ｏ训一）硼趟∥飞砌如

时，厂（工）在弼处取得极小值；当，‘４’（％）＜ｏ时，厂（ｘ）在‰处取得极大值。

用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。

［关键词］泰勒公式：高阶导数：皮亚诺型余项：拉格朗日型余项

泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。下面举例阐述泰勒公式几种常见的应用技巧。

Ｘ＝口时取得极小值，（口）＝０，问ｇ（ｘ）…３（ｘ口）２／（ｘ）＋１在ｘ＝ａ

能否取得极值，如有极值，极值为多少？

解：“曲在ｚ＝口处，泰勒公式为：

例：已知函数厂Ｏ）在ｘ＝ａ邻域内二阶可导，ｆ’（％）≠Ｏ且当

／（ｘ）＝，（口）＋ｆ’（口）（工一口）＋：！≤导（ｘ一口）２＋Ｄ（（ｘ一口）２）

由于，（力在ｘ。ａ取得极值，（口）＝０，故，’（口）＝０，又由于取得极小值，故，。（日）＞０。

一、利用泰勒公式求极限

为了简化极限运算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理分式的极限，就能简捷地求出。

一￡

１１埘ｆ（ｘ）：ｚ筹堕“一口）ｚ＋。（＠一口）：），ｇｏ）可表示为：

ｇ＠）＝１一昙／’（口）＠一口）４＋Ｄ（＠一口）４），因为ｇ（口）２ｌ，又

～３．，ｆ”（口）＠一口）４＜Ｏ，故ｇＯ）在ｘ２口处取得极大值，极大值为ｌ。

例：求极限Ｉ；。ＣＯＳＸ—Ｐ

裂

２。“’

一

分析：此为旦型极限，若用罗比塔法则很麻烦。这时可将ＣＯＳＸ

和Ｐ一等分别用其泰勒展开式代替，则可简化此比式。

ｆＪ：１２

三、并Ｉ上用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值

如果，ｂ）泰勒公式已知，其通项中的加项Ｏ—Ｘｏ）”的系数正

肫由ｃ。ｓ川一丢２＋篆４＋。（工４）ｅ｛小；２＋学＋。Ｇ４）

ｌ

Ｉ

、

，

Ｚ

是去／‘ｎ’（‰），从而可反过来求高阶导数数值，而不必再依次求导。

倒：求函数厂（ｘ）＝，ｅ’在彳：ｌ处的高阶导数厂‘１００’（１）ｏ）

解：设Ｊ：“＋ｌ，则：

得：ＣＯＳＸ－ｅ－－ｉ＝陪刘＾。件一去ｘ４＋。∽于是

１ｉｍ竺罂：ｌｉｍｊＬ一：一上。

例：求极限ｌｉｍｆ—三一一三１“ｏｋｘ‘／

ｓｉｎ‘Ｘ

一嬖一！ｘ４＋Ｄ＆４１ｆ（ｘ）＝ｇ（ｕ）＝（Ｕ＋１）２口‘”１’＝＠＋１）２ｅ“ ｅ，ｐ’（１）＝ｇ∽’＜Ｏ），Ｐ。在“：ｏ的泰勒公式为：

用泰勒公式计算极限的实质是利用等价无穷小的替代来计算极限。我们知道，当ｚ斗。时，ｓｉｎｘ～ｘ，ｔｇｘ～ｚ等，这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展开至一次项，有些问题用泰勒公式和我们已经熟知的等价无穷小法相结合，问题又能进一步简化。

ｅｕ：ｌ＋冲．．＋ｕＡ＋生＋竺＋。俨），从而：

舯Ｐ（ｕ２＋２ｕ＋１）（…＋．． ＋面Ｕ９８＋矗＋意＋Ｄ（”１００））

而ｇ＠）中的泰勒展开式中含材１００的项应为９１∞（０）

从ｇ似）的

肫烛（丽１—７１№ｌｉｍ。豢ｐ’Ｙ…１－ｃｏｓ２ｘ…１

下面用泰勒公式法与等价无穷小相结合来考虑。ｎ展ｘ２ｓｏｃ将式公勒泰用利，ＣＯＳ２Ｘ．Ｓｌ‘工＝——＿—一＝＝一＝

ｑｉ

２

—丽矿“，１００

展开式知／，１１００的项为Ｐ（—Ｌ＋—生＋—ＬⅥ－００，因此：

１

’

…’押㈣州。ｏｕ３“…

贮塑；Ｐ（上＋三＋与，９１００（ｏ）＝Ｐ １０１０１，

，１００（１）＝９１００（０）＝ｌＯｌＯｌｅ

玳瞄２纠一缂＋绰＋。（ｘ ）一是ｓｉｎ２ｘ＝２

ｆ

４Ｉ

、７

三２一三２

四、利用泰勒公式判断广义积分的收敛性

／Ｇ）为一正值函数，要判定ｆ”ｆ（ｘ№的收敛性，如果能找

『ｔ一争等ｗ）卜一等ｗ）’、将ｐ域分子上的咖２并到恰当的妒Ｇ）＝７１，ｐ＞ｏ使觋爱砉＝，，由比较判别法的极限形

用上式代替，而分母中的ｓｉｎ２

Ｊ用ｘ２代替，则：ｌｉｍｆ—；一占１

式可判别出无穷积分【厂ｂ皿的收敛性。这里的问题也是如何选

取ｐ＞ｏ，才能应用判别法则昵？运用泰勒公式通过研究，Ｇ）的阶，

就可以解决这类问题。

一∞

，、

＝ｌｉｍ

｝一’０

＝ｌ，ｉ枷ｍｔ≯弓

Ｊ—＋Ｏ

Ｙ’

荨＋０（ｘ４），

——＋Ｉｘ。Ｉ

，

例；研究广义积分ｒ（、／鬲＋、／；ｊ一２√ｉｋ的收敛性。（３）

解：石膏＋‘专一２‘：√爿，５＋土＋、ｆＩ一三一２１，利用泰勒公式将

Ｙ

工

４｛

运用泰勒公式法需要注意的一个问题是将函数展开至多少项才可以昵？其实从例题不难看出，只须展开至分子及分母分别经过化

简后系数不为零的阶即可。

Ｙ工Ｊ

二、利用泰勒公式判断函数极值

讨论函数极值通用的方法是：当，Ｙ％）＝ｏ且（或／。（Ｘｏ）＜０）

孵脐。孵小｝掣．专＋ｏ（古］硎膝凇

１

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