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数学杂志 J . o f Ma t h . ( P R C )

倒向随机微分方程的均值型 Kn e s e r定理 石学军，江龙

(中国矿业大学理学院数学系，江苏徐州2 2 1 1 1 6 ) 摘要：本文研究了当倒向随机微分方程的解不唯一时，其解集的结构问题.利用正向与倒向方程相结合的构造性方法，建立了关于倒向随机微分方程和带下障碍的反射倒向随机微分方程的均值型 Kn e s e r定理，推广了 J i a - P e n g f 6 1的结果 . 关键词：倒向随机微分方程；反射倒向随机微分方程；均值型 Kn e s e r定理

MR ( 2 0 1 0 )主题分类号： 6 0 H1 0 中图分类号： O 2 1 1 . 6 3 文献标识码： A 文章编号： 0 2 5 5— 7 7 9 7 ( 2 0 1 3 ) 0 6— 1 1 0 1— 0 5

1引言 P a r d o u x - P e n g( 1 9 9 0 )[ 1]引入了如下的倒向随机微分方程 ( B S D E ) T =

∈+

9 ( s,, ) d s一 T d B ,

￡∈[ 0,],

( 1 . 1 )

这里 ( Y t, Z t ) t￣[ o, T 1是待求的适应随机过程； g和∈是给定的随机过程与随机变量，分别称为 B S DE( 1 . 1 )的生成元和终端变量.P a r d o u x . P e n g【 】证明了如果生成元 9满足 L i p s c h i t z的 条件，则方程 ( 1 . 1 )的存在唯一的适应解. E 1 K a r o u i— K a p o u d j i a n— P a r d o u x - P e n Q u e n e z[。]提出了一种新的方程结构，反射倒向随机微分方程 ( R B S D E ): ) d s一 T

+硒

。,] j

( 1 . 2 )

且满足

L t和 ( —L t ) d Kt=0,它是在 B S D E的基础上增加一个初值为 0的连续增

过程，用最小的“推力”使得方程的解保持在一定的障碍之上.他们在生成元 g满足 L i p s c h i t z

的条件下，也得到了方程 ( 1 . 2 )存在唯一的适应解，并说明了此类方程的解与最优停时问题的 值函数以及偏微分方程障碍问题的联系 .随后， L e p e l t i e r— S a n Ma r t i n[ 0】和 Ma t o u s s i[ ]在生

成元 g关于 ( Y, )连续且线性增长的条件下，分别得到了 B S DE和 R BS DE极大极小解的存 在定理 .

值得特别指出的是，在L e p e l t i e r— S a n Ma r t i n( 1 9 9 7 )i 3 j和 Ma t o u s s i f 】的结果中， B S DE 或 RBS DE的解在一般情况下不唯一.然而对于一个非空的方程解集，我们很希望能够更多 收稿日期： 2 0 1 2— 0 5 . 1 4 接收日期： 2 0 1 2 . 1 1 . 0 5

基金项目：国家自然科学基金 ( 1 0 9 7 1 2 2 0 );全国优秀博士学位论文作者专项基金 ( 2 0 0 9 1 9 );中央高校基本科研业务费专项基金 ( 2 0 1 0 L K S X 0 4 );江苏省 2 0 1 3年度普通高校研究生科研创新计划项目 ( C X Z Z l _ 0 9 2 1 ) . 作者简介：石学军 ( 1 9 8 5一 ),男，河北唐山，博士，研究方向：随机分析与金融数学.