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2014高三数学综合训练--数列综合问题

n

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：对任意自然数m,n，f

m m n 1f 恒成立． m 2

1 2 m 2 m 1 m

由于Sm f f f f f ，故可考虑利用

m m m m m

1 Sm f

m m f

m

2 m 2 m 1 f f f mmm m 1 m 2 2 f f f m m m

m

f m

1 f m

倒写求和的方法．即由于：

所以，

1 m 1 2 2Sm f f f

m m m

11

m 1 2f(1) 3m 1 26

m 1 m 2

f f m m

1 m

f 2f m m

1

3m 1 1211

（Ⅲ）∵Sm 3m 1 ， ∴Sm 1 3m 2

1212

所以，Sm

amam 1a 1

∴等价于12am 0 ① SmSm 1 3m 13m 2

依题意，①式应对任意m N恒成立．

（1） 当a 0时，①式显然不成立，因此a 0不合题意．

1a

（2） 当a 0时， 0，所以，只需am 0对任意m N恒

3m 13m 2

成立，而当m为偶数时，am 0不成立，因此，a 0不合题意．

（3） 当a 0时，因为am 0（m N），所以，需且只需

对任意m N恒成立．即：a 记g m

3m 2

（m N）． 3m 1

3m 53m 2 9

0， 3m 23m 13m 23m 11a

03m 13m 2

3m 2

对m N恒成立． 3m 1

∵ g m 1 g m

∴ g m （m N）的最大值为g 1 ∴ a

5． 2

5， 2

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