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2 0 0 4年第5期

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一

道I M O试题的推广及简证 程俊 (浙江省金华市第一中学高二( 1 O )班， 3 2 1 0 0 0 )

第4 4届1 M O第四题： 设A B C D是一个圆内接四边形 .从点 D 向直线 B C、 A C和A B作垂线，其垂足分别为 P、 Q和尺.证明： P Q=Q R的充分必要条件是 A B C的平分线、 A D C的平分线和 A C 这三条直线相交于一点 .

该圆直径. 故 Q R=A Ds i n Q D R=A Ds i n B A C. 同理， =D C s i n￣A C B.

由△ A B C及正弦定理有 s i n C BC ’

现证明该命题对任意凸四边形均成立 . 证明：如图 1,

所以，筹=

= .

连结 Q R、 Q P、 A D、 DC.

故Q R= 甘= . 由于 A B C和 A D C的平分线将 A C分 C

因为 D R上 R A R, A Q上 Q D,所以， A、尺、 D、 Q四点共圆，且A D为图1

成和 ,故原命题成立 . 参考文献： 1]李胜宏 .第4 4届I M O试题解答[ J],中等数学， 2 O O 3 ( 5 ) .

且图形中不出现以给定点为顶点的三角形的

情形 .此时有连线[号] ( n一[号] )条，且 中任意两点之间没有连线，否则图形中出现三角形 .同理， A,中任意两点之间也没有连线.现在对此情形中的连线进行任意调整，但不能去掉 A与 中每个点的连线 . 考虑到 M中任意两点之间不能连线 .若在Ⅳ中两点之间每连一条线，则至少增加 n—

因为 ≥[号] ( n一[号] )+ 1,故此时 至多能连续去掉( k一1 )条连线，则至多减少

( 一 1 ) ([号]一 1 )个三角形 . 又因为 n一[号]>[号]一 1,从而，

( n一 )> (后 _ 1 ) (一 ) . 因此，图形中必然出现三角形，矛盾 . 综合( 1 )、 ( 2 ),图形中出现以给定点为顶点的三角形的充要条件是 ≥

l 1个三角形.从而，首先在N中连续

添加连线k条，则至少增加k ( n— l l】个 三角形 .而去掉原有的(即 中每点分别与

( n一 ) 数学奥林匹克问题(高1 3 2 )[ J] .中等数学，

参考文献： 2 0 O 4 f 1

1]费振鹅 N中每点之间的[号] ( n一[号] )条连线 )任[ 一

条线，则至多减少l詈l一 1个三角形.