62算术平均数与几何平均数(1)
62算术平均数与几何平均数(1)
6．2算术平均数与几何平均数（1）
黄冈中学 汤彩仙
一．教学目标：1．学会推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理；
2．理解定理的几何意义； 3．能够简单应用定理证明不等式．
二．教学重点: 均值定理证明 三．教学难点: 等号成立条件 四．教学方法: 引导式 五．教学过程:
（一）复习回顾
上一节，我们完成了对不等式性质的学习，首先我们来作一下回顾．
（学生答略）
由上述性质，我们可以推导出下列重要的不等式． （二）新课讲解 1．基本不等式：
定理：如果a,b R，那么a2 b2 2ab（当且仅当a b时取“ ”）． 证明：a2 b2 2ab (a b)2，
当a b时，(a b) 0 22
）． a b 2ab（当且仅当a b时取“ ”2
当a b时，(a b) 0 说明：（1）指出定理适用范围：a,b R；
2
（2）强调取“ ”的条件a b． 定理：如果a,b是正数，那么
a b2
ab（当且仅当a b时取“=”）
证明：∵(a)2 (b)2 2ab， ∴a b 2ab， 即：
a b2
ab 当且仅当a b时
a b2
ab
．
说明：（1）这个定理适用的范围：a,b R；而上一式是a,b R． （2）我们称
a b2
为a,b的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数
即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
（3）两个不等式都是带有等号的不等式，当且仅当a b时取等号，此话的涵义是a b是取等号的充要条件．
（4）本不等式的可以推广：
①
ba ab
2(a,b同号）； a1 a2 an
n
②推广
:
几何平均数算术平均数（1）
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