高考数学一轮复习必备：第100-102课时：第十三章 导数-导数的应用(3)
高考数学一轮复习必备
第100-102课时：第十三章 导数——导数的应用(3)
课题：导数的应用3：切线与速度的问题(3课时)
一．用导数求曲线的切线
函数f x 在x0处导数的几何意义，就是曲线y f x 在点 x0,f x0 处切线的斜率，也就是说，曲线y f x 在点P x0,f x0 处切线的斜率是f x0 。于是相应的切线方程是：y y0 f x0 x x0 。
利用上述结论，可以求解曲线的切线以及相关的问题。
用求导法求曲线的切线的斜率是行之有效的方法，它不仅适用于二次曲线，对于任何可导函数都适用。如果要求的切线过某点，一定要注意验证这点是否在曲线上。如果这点在曲线上，可直接通过求这点的导数（斜率）来求切线方程，如果这点在曲线之外，一般需设切点，求出这点的导数，然后通过解方程组来确定切点，最后根据两点式确定切线方程。 二．用导数求瞬时速度
物体在时刻t0时的瞬时速度V0就是物体运动规律S f t 在t t0时的导数
f t0 ，即有V0 f t0 。
利用导数的这个物理意义，可以帮助我们获得按规律运动的物体的瞬时速度。 三．范例分析
例1．求过抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上一点P（x0，y0）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质。
分析：为求斜率，先求导函数：y'=2ax+b，故切线方程为y－y0=(2ax0+b)(x－x0)
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即 y=(2ax0+b)x－ax0+c，亦即y=(2ax0+b)x－ax0+c.
b4ac b2 抛物线焦点：F（ ,），它关于切线的对称点之横坐标当x0，
2a4a
说明从焦点发出的光线射到（x0，y0）经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反
之亦然。
要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值（斜率），再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法线方程。
2
解：显然，y0=ax0+bx0+c
y'=2ax+b 故在P点处切线斜率为2ax0+b，
2 切线方程y－(ax0+bx0+c)=(2ax0+b)(x－x0)， 2 亦即y=(2ax0+b)x－ax0+c.
