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固体力学习题一答案

第一章

习题1 证明e 恒等式eijkeist js kt ks jt [证明]

ii is it ji js jt ki ks kt

ii js kt ks jt ji is kt ks it ki is jt js it 3 js kt 3 ks jt js kt ks jt ks jt js kt js kt ks jt

eijkeist

习题2 证明若aij aji;bij bji，则aijbij 0 [证明]

aij aji;bij bji aijbij ajibji， aijbij ajibji aijbij apqbpq 0 又因为所有的指标都是哑指标，apqbpq aijbij，所以2aijbij 0，即aijbij 0

习题3 已知某一点的应力分量 xx， yy， zz， xy不为零，而 xz yz 0，试求过该点和z轴，与x轴夹角为 的面上的正应力和剪应力。

[解] 如图1.1，过该点和z轴，与x轴夹角为 的面的法线，其与x轴，y轴和z轴的方向余弦分别为cosα，sinα，0，则由斜面应力公式的分量表达式， ( )j i ij，可求得该面上的应力为

( )1 j 1j xxcos xysin ( )2 j 2j yxco s yysin (v)3 j 3j 0

由斜面正应力表达式 n ij i j，可求得正应力为

n xxcos2 2 xycos sin yysin2

剪应力为

σ(n) σn σ(n)

2

2

n

1

( yy xx)sin2 xycos2 2

习题4 如已知物体的表面由f(x,y,z) 0确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷p x,y,z 。试写出其边界条件。 [解] 物体表面外表面法线的方向余弦为

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