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2014高三数学综合训练--数列综合问题

数列综合问题

题型预测

在知识网络的交汇点处设计试题是近年来高考命题的特点．数列作为高中数学的重要内容，不仅本身成为高考考查的重点，而且常常与不等式、函数、解析几何等知识综合在一起，成为高考命题的热点．

范例选讲

例1 已知函数f x

14x 2

x R ，点P1 x1,y1 ，P2 x2,y2 是函数f x 图

1． 2

像上的两个点，且线段P1P2的中点P的横坐标为

（Ⅰ）求证：点P的纵坐标是定值；

n

（Ⅱ）若数列 an 的通项公式为an f

m

m N,n 1,2, ,m ，求数列

an 的前m项的和Sm；

amam 1

（Ⅲ）若m N时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． SmSm 1

讲解：这是一道函数、数列、不等式的综合问题．对于（Ⅰ），直接验证即

可；对于（Ⅱ），观察Sm的构成：

1

Sm f

m

2

f m

m 2 f m

m 1 f m

m f ， m

可知（Ⅰ）的结论又为（Ⅱ）作了铺垫；对于（Ⅲ），则应在（Ⅱ）的基础上，充分利用“恒成立”，结合函数、不等式的知识去解决．总之，本题层层递进，每一小题均为后一小题的基础，因此，从（Ⅰ）开始，认真走好每一步是解决好本题的关键．

1

（Ⅰ）由题可知：x1 x2 2 1，所以，

2

114x1 4x2 4

y1 y2 f x1 f x2 x1

4 24x2 24x1 24x2 2

4x1 4x2 44x1 4x2 41 x x 412 24x1 4x2 424x1 4x2 42

点P的纵坐标yP

y1 y21

是定值，问题得证． 24

第1页

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