第８卷第３期２００６年５月

石家庄学院学报

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

Ｖｏｌ．８，Ｎｏ．３Ｍａｙ．２００６

具有阶段结构和Ｌｏｇｉｓｔｉｃ死亡的传染病模型

程晓云，胡志兴

（北京科技大学数学系，北京１０００８３）

摘

要：研究了一类具有Ｌｏｇｉｓｔｉｃ死亡且成年染病的ＳＩＳ阶段结构模型的渐近形态，讨论了无

病平衡点和地方病平衡点的存在性及局部和全局稳定性，得出了疾病消除和成为地方病的阈值．

关键词：传染病；阶段结构；Ｌｏｇｉｓｔｉｃ死亡；渐近稳定；阈值中图分类号：Ｏ１７５．１

文献标识码：Ａ

文章编号：１６７３－１９７２（２００６）０３－００１７－０５

０模型的建立

关于分阶段结构的传染病模型，目前已有了一些研究，文献［１］，［２］提出了具有阶段结构的单种群模型，

文献［３］讨论了死亡率为Ｍａｌｔｈｕｓ形式的幼年染病的传染病模型，文献［４］，［５］研究了死亡率为平方形式的成年染病的传染病模型．事实上，在实际中常常认为成年种群衰老死亡比较快，基于此，本文考虑更一般的死亡形式，即Ｌｏｇｉｓｔｉｃ形式的死亡［１－６］．所建立的模型是

ｄｘ＝ａＳ（ｔ）－ｄｘ（ｔ）－ａｅ－ｄτＳ（ｔ－τ）１#

ｄＳ＝ａｅ－ｄτＳ（ｔ－）－!Ｓ（ｔ）Ｉ（ｔ）－"Ｓ（ｔ）－#Ｓ２（ｔ）＋%Ｉ（ｔ）．τ#

ｄＩ＝!Ｓ（ｔ）Ｉ（ｔ）－ｄＩ（ｔ）－$Ｉ（ｔ）－%Ｉ（ｔ）２

$

１

１

（１）

其中ｘ（ｔ），Ｓ（ｔ），Ｉ（ｔ）分别表示幼年、成年易感者及成年染病者在ｔ时刻的数目，ａ表示幼年出生率，ｄ１，ｄ２分别表示幼年、成年染病者的自然死亡率，"，&是成年易感者的Ｌｏｇｉｓｔｉｃ死亡率，’是疾病的传染率，τ表示从幼年到成年的时间间隔，ｅ

初始条件为

－ｄτ１

表示ｔ－τ时刻出生的幼体活到ｔ时刻的概率，α是疾病的因病死亡率，%是疾病的治

愈率．所有参数均为非负常数．

ｘ（ｔ）＝(１（ｔ）≥０!

#

Ｓ（ｔ）＝(２（ｔ）≥０，ｔ∈［－τ，０］．"#

Ｉ（ｔ）＝(３（ｔ）≥０$

为保证初始条件的连续性，假定(１（０）＝

（２）

’

０

ａ(２（ｌ）ｅｄｌ．－τ

ｄ１ｌ

１引理

引理１证明再证

系统（１）满足初始条件ｘ（ｔ）＞０，Ｓ（ｔ）＞０，Ｉ（ｔ）＞０，ｔ∈［－τ，０］的解在ｔ＞０上严格为正．由系统（１）第３个方程解得Ｉ（ｔ）＝Ｉ（０）ｅｘｐ

’［!Ｓ（ｌ）－（ｄ＋)＋*）］ｄｌ＞０，Ｉ（０）＞０．

０

２

－ｄτ１

ｔ

对所有的ｔ＞０，有Ｓ（ｔ）＞０．否则(ｔ０＞０，使得Ｓ（ｔ０）＝０，取ｔ０＝ｉｎｆ｛ｔ＞０∶（ｔ０）≤０．而Ｓ（ｔ）＝０｝，则Ｓ′

（ｔ０）＝ａｅＳ（ｔ０－τ）－"Ｓ（ｔ０）－#Ｓ２（ｔ０）－’Ｓ（ｔ０）Ｉ（ｔ０）＝ａｅＳ（ｔ０－τ）＋*Ｉ（ｔ０）＞０，Ｓ′

τ－ｄ１

矛盾．

最后证

当ｔ＞０时，ｘ（ｔ）＞０．

收稿日期：２００６－０３－３０

作者简介：程晓云（１９７８－），女，山西应县人，北京科技大学数学系应用数学专业硕士研究生，研究方向：生物数学．