理论前沿

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Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ

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关于一道定积分习题结论的应用

刘绿云

（侨光财经学院广州５１０１４０）

摘要：本文利用一道定积分习是的鲒论时摹一型曲线积分计算公式的证明进行简化．并给出旋转由面的面积计算公式的一种新证明。

摹一型曲线积分计算公式关键词：一道定积分习超旋转由面的面积计算公式

中图分类号：６４０文献标识码：Ａ文章编号：１６７３－－９７９５（２００９）０３（ａ）一００６５一０１

众所周知，一般的数学分析教材１１．３１在介绍定积分的内容之后，都会给出第一型曲线积分的计算公式，但它们对于第一犁曲线积分计算公式的证明却往往比较繁琐，这里我以文献【ｌ】的证明方法为例所以：

∑，晦。，ｎ，）ａｓ，＝∑，忡。勺，、Ｉ，ｏ『））√‘Ｐ“ｏ’）十、Ｉ，“ｏｊ）Ａ，，

来说明一下。文献【ｌ】在证明的过程中出现了一个非积分和式：

￡，鸥．川，）缸，＝宝／仲“凡、ｌ，“ｍ‘≯ｉ再ｉ丽，，

ＪｌＩ

』－Ｊ

这里，Ｈ≤ｔ；，百．；，≤ｔｆ，接着令

∑，吒，，”，）血，＝∑，（印ｏ’，ｌＩ，ｏｐ）知”ｏｏ＋ｖ吐ｏ’△，．＋ｏ，

ｉ＝１

ｉ＝１

其中，ａ＝∑，∞（ｔ’，、ｌ，（ｔ’）№“ｏｊ）＋ｖ”（ｔｊ）一如。一ｐ＋ｖ“ｏ？！Ｉ△‘，这

样它就把求∑，（‘ｐｏＡ、ｌ，ｏ＇）√南。ｏｊ）＋１Ｉ，”（ｆｊ）址，当△，，一０时的极

』Ｉ’

限问题转化为证明，慨，ｏ２

０和求∑，仲ｏＡ＇Ｉ，“－）如“ｏ’＋’Ｉ，““ｊ）△ｆ，的极

限问题。为了证明ｊｍＩ，ｏ

２０，它利用了复合函数的连续有界性

定理和函数在闭区间上的一致连续性定理，而为了求

∑／（‘ｐ００，Ｖｏ’）√Ｑ”００＋１ｌ，“ｏ？）△，．的极限，又利用了定积分的

定义，因而，才使得证明显得比较繁琐。

其实，第一型曲线积分计算公式的证明是可以进一步简化的。我在学习文献【ｌ】的时候，发现该教科书的第２１９页有一道定积分

习题。不妨将这道定积分习题记为引理Ａ。

引理Ａ…若Ｆ和Ｇ都在［ａ，ｂ］上可积，则

三

气

ｊ巴。∑尸传ｆ）Ｇｍ，）Ａｔ，＝ＪＦ（ｔ）Ｇ（ｔ）ｄｔ’

其中。号，和Ｔ１，是７１所属小区间△，中的任意两点。，＝１，２，一ｊ疗。

其实经过仔细观察，该等式嘶ｂＯ）的和第一型曲线积分计算公

式的／（叩（，），、Ｉ，（ｒ））√审“（ｆ）十ｖ”（ｆ）都是由两个函数之积构成的，如果把，（‘Ｐ（，），、Ｉ，（，））看作Ｆ（，），把√母吐（，）十ｖ门（，）看作Ｇ（ｔ），那么就

可以很好地简化第一型曲线积分计算公式的证明。

本文利用引理Ａ，对数学分析中关于第一型曲线积分计算公

式的证明进行简化，并给出旋转曲面的面积计算公式的一种新证

明。这些证明方法可作为教师教学和学生学习的参考材料。

１第一型曲线积分计算公式的简化证明

第一型曲线积分计算公式就是：

定理１设有光滑曲线Ｌ：工＝Ｑ（ｆ），Ｙ＝、Ｉ，（ｒ），ｔ∈ｂ，Ｂ】，函数ｆ（ｘ，ｙ）

为定义在Ｌ上的连续函数，则

Ｒ

ｆ，（ｘ，ｙ）加＝。Ⅳ（中（ｆ），、Ｉ，（ｆ））‘了丽ｉ７可硇【ｌＪ

：；

定理１的简化证明：由弧长公式知道，Ｌ上由ｆ＝ｔ『＿ｌ到ｒ＝ｆｆ

的弧长

缸，＝ｊ厢丽丽。

由知可百而的连续性和积分中值定理，有

血．＝厅葡两再孺．ｑｏｔ：ｔ一。

万方数据

，１．｜ｓｔ；，Ｔ？≤，，。

（２）

石巧币而在【０【．Ｏ由于函数厂为定义在Ｌ上的连续函数，故厂可积，又因为

１连续，故也可积。于是由引理Ａ可得：

些ｍ０∑／（币“Ａ’Ｉ，ｏｆ’）知“代ｊ）＋ｌＩ，“ｏｊ）Ａ，，＝ｐ（甲（ｒ，．ｖ‘ｆ））再“（，）＋’Ｉ，”（，）曲。

因此，当在式（２）两边取极限后．即得所要证的（１）式。

２旋转曲面积分计算公式的新证明

文献【ｌ】在证明旋转曲面的计算公式时是利用微元法的。其实，我们不仅可以利用引理Ａ来简化第一型曲面积分计算公式的证明，还可以利用它给出旋转曲面积分计算公式的另一种证明。

定理２如果光滑曲线Ｃ由参数方程：ｘ＝ｘＯ）ｙ＝ｙ（，Ｉｔ∈ｂ，ｐ】给

出，且ｙＯ）≥０，那么由曲线Ｃ绕工轴旋转所得旋转曲面的面积为：

ｓ＝孙ｐｔ）√Ｊ。Ｏ）＋，“ＯⅫ。

证，工过轴上点ｘ（ｆｆ＿１）与ｘ（ｔｉ）分别作垂直于石轴的平面，它们

在旋转曲面上截下一条狭带，当△，．很小时，此狭带的面积近似干一

个圆台的侧面积。即

知『峭毗

（１）

其中缸，是Ｃ上由ｔ＝，ｆ．Ｉ到ｔ＝ｔ．的弧长。

缸．＝扛ｉ而再丽，．

（＾．．ｃｔ。ｃ，。），

因为Ｙ在ｂ，ｐ］上连续，所以由函数的介值性定理知，

｜ｔ，∈“，，，），使得

也卓型；，㈨＾

，、…

（２）

由（１）和（２）得旋转曲面的面积ｓ＝２兀芝ｙ６ｊ）√：丁酊Ｆ歹虿Ⅺ．。

利用引理Ａ可得ｓ：孤ｊｙｏ灿西万丐可Ⅻ。

３结语

作者在编书的过程中，如果注意将课本前后的知识内容系统地联系起来，并且加以运用，那么有时将会起到事半功倍的效果，而教师和学生在学习的时候，也不能完全拘泥于课本的证法，要善于思考和深入研究，这样才会发现一些新问题，学到一些新知识。

参考文献

【１】华东师范大学数学系．数学分析（上下册）【Ｍ】．北京：高等教育出

版社，２００１，３．

【２１徐森林，薛春华．数学分析［ＭＩ．北京：清华大学出版社，２００６．【３】裘兆泰，王承国，章仰文．数学分析【Ｍ】．北京：科学出版社，２００４．

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