一、填空题（每空3分，共24分）

1、 设 1、 2、 3均为3维列向量，已知矩阵 A ( 1, 2, 3),

B 1 2 3，3 1 9 2 27 3,2 1 4 2 8 3 ，且A 1，那么B 2、 设分块矩阵C

AO

OB , A,B均为方阵，则下列命题中正确的个数为 .

(A).若A,B均可逆, 则C也可逆. (B).若A,B均为对称阵, 则C也为对称阵. (C).若A,B均为正交阵, 则C也为正交阵. (D).若A,B均可对角化, 则C也可对角化.

23413、 设D

3

451

4561，则D7891

4、 设向量组(I): 1, 2, , r可由向量组(II): 1, 2, , s立.(注：此题单选)

(A)．当r s时，向量组（II）必线性相关 (B)．当r s时，向量组（II）必线性相关 (C)．当r s时，向量组（I）必线性相关 (D)．当r s时，向量组（I）必线性相关

5、 已知方阵A满足2A2

3A O, 则 A E

1

.

6、 当矩阵A满足下面条件中的 时,推理“若AB O， 则B O”可成立. （注：此题可多选）

(A).A可逆

(B).A为列满秩（即A的秩等于A的列数） (C).A的列向量组线性无关

(D).A O

7、 设矩阵A,B分别为3维线性空间V中的线性变换T在某两组基下的矩阵，已知1, 2为A的特征值，B的所有对角元的和为5， 则矩阵B的全部特征值为 .

8、 设Jn是所有元素均为1的n阶方阵(n 2)，则Jn的互不相同的特征值的个数为 .

200 100 二、（10分）已知矩阵A 011 112

，B 052

, C 10 1.

031 021

030 矩阵P，X满足PA B,PX C. 求矩阵X.

x1 3x2 x3 0三、（10分）设线性方程组

x1 4x2 ax3 b ， 问当参数a,b取何值时，

2x1 x2

3x3 5

(1). 此方程组无解?

(2). 此方程组有唯一解? (3). 此方程组有无穷多解?

四、（10分）设A 为4阶方阵，4维列向量b 0，R(A) 2.若p1,p2,p3,p4都是非齐次方程组Ax b的解向量，且满足

2 3 2 0 2 p1 p2 ,p2 p3 ,p p1 34 0 4 1 2

0 1

(1).(6分) 求齐次方程组Ax 0的一个基础解系. (2).(4分) 求Ax b的通解.

五、（16分）将二次型f(x2

2

2

1,x2,x3) x1 4x2 6x3 4x1x2 4x1x3 8x2x3 用正交变换化为标准型.

六、（14分）设V为所有2阶方阵在矩阵的加法和数乘下构成的线性空间.定义V上的变换T如下：

对任意X V，T X AX XT

A，其中A

12 21 ，

XT

表示X的转置矩阵．

(1). (6分)证明T是V上的一个线性变换；

(2). (8分)求T在V的基E 10 00 E 01 00 00

11 ,12 00 ,E21 10 ,E22 01 下的矩

阵.

b1 a1 a2

b2 a2 a3七、(1). (8分)已知向量组a,a

12, ,an线性无关,向量组b1,b2, ,bn满足：

， bn 1 an 1 a

n

bn an a1

分别讨论当n 4和n 5时，向量组b1,b2, ,bn是否线性相关？

(2). (8分)设 1, 2为方阵A的两个不同的特征值， 1, 2为A相应于 1的两个线性无关的特征向量， 3, 4为A相应于 2的两个线性无关的特征向量，证明向量组 1, 2, 3, 4线性无关.