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·∑1i=1aii+

ni=1n

数学通报

2

2007年　第46卷　第4期

[3]

(a·i+ai+1)≥1 ∑∑1i=1i=1aii+

n

nn

2

瓦茨不等式:对任意随机变量ξ,η,有

222

|Eξη|≤EξEη

②

ai+ai+1)≥∑(

n

n

∑ai

i=1

n

2

,由推论2即证.

等式成立当且仅当存在常数t0,使P(η=t0ξ)=1.②式的证明方法和①式一样,都是构造二次函数后利用判别式Δ≥0,本文从略.在②式中令η=1,即得Eξ≥Eξ.因此,文[1]利用的数学期望性质

2

Eξ≥E2ξ,实际上是概率论中柯西—施瓦茨不等

2

2

例4　已知ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),且ai1

ab≥i=i,求证:∑∑∑2i=1i=1i=1aii

n

2

n

i=1n

∑a

i=1

i

.

证明　∑

i=1

n

n

a2i≥

ai+bi2

2i

n

n

∑a

i=1

i

∑

n

a2i

·

ai+bi+bi

)≥

式的特例.名称、结构特征和证明方法的一致,体现了代数中的柯西不等式①和概率论中的柯西—施瓦茨不等式②的内在统一,文[1]中的概率证法可以看成是本文代数证法的一种概率诠释.4　概率证法有教学价值么

虽然对于分式不等式的证明,文[1]的概率证法并不易于掌握、不值得提倡,但通过以上的证法比较之后,这种概率证法在解题教学中仍具有一定价值.

其一,在概率教学中,说明构造概率模型在解题中的运用,体现概率与其它数学内容之间的紧密联系,对于增强学生的学习兴趣、加深学生对概率知识的理解,都是很有裨益的.文[1]若以此为出发点进行概率教学,也许会取得一定效果;倘若一味强调构造技巧、人为拔高思维重心,则会违背思维发展规律,不利于解题教学的有效开展.

其二,一题多解在解题教学中具有特殊的地位,适当的引导学生一题多解确实可以起到融会知识开拓思路的作用;然而,如果只是罗列多种解法,盲目的要求学生寻求“多解”,则会徒增学生负担,浪费师生的时间.比如对本文中讨论的分式不等式问题,概率证法和代数证法本质上是相通的,因而无须挖空心思寻求一题多解;只有对“多解”进行比较分析和批判,才能帮助学生把握问题的实质,从而有利于培养学生的数学素养.

参考文献

2

i=1n

∑a

i=1

i

≥

2

i=1

∑a ∑

i=1

a2i

·

ai+bi

i=1

a∑(

i

∑ai

,由推论2即证.

从以上证明不难发现,利用柯西不等式的推论证明此类分式不等式,结构对称优美、思路自然、过程简捷流畅,相比于概率证法,显得更为实用、更“易于掌握”.

3　概率证法与代数证法可以沟通么

虽然,利用数学期望性质的概率方法比利用柯西不等式的代数方法要显得突兀、繁琐,但两者都能证明此类不等式问题,我们自然会想:这两种证法之间是否具有某种联系和沟通呢?

由文[1]可知,概率证法中数学期望的性质Eξ≥E2ξ等价于下面的结论:已知0<pi<1,i=1,2,

n

n

n

2

…,n,且

∑p

i=1

i

=1,则

∑x

i=1

2

ipi≥

i=1

∑

xp

i

n

2i

.而这

个结论由柯西不等式不难推出,即

n

n

n

2

∑xipi=

i=1

i=1

∑(xii·∑(i≥

2

2

i=1

i=1

∑xipi

2

,因此概率

2证法所依据的数学期望的性质Eξ≥E2ξ可以看成

是柯西不等式①的一个推论,或者说概率方法实质上是柯西不等式①的概率表现.

掌握了概率证法与代数证法之间的这种联系,才能构造出“适当”的离散型随机变量的分布列,从而熟练运用概率方法证明分式不等式.有兴趣的读者不妨参照本文的代数证法构造相应的离散型随机变量的分布列,实际上这也就是文[1]概率证法的构造思路.

表明概率方法与代数方法之间联系的更有力证据是,在概率论中也有“柯西不等式”:柯西—施

1　刘南山.也谈一类竞赛不等式的创新证法.数学通报,2006,52　石焕南.也谈“改变观点”的创造性技巧.数学通报,2000,23　林正炎,苏中根.概率论[M].杭州:浙江大学出版社2001,8

第1版P133