高三理科数学阶段小测(八)参考答案

1---7：DCCB ，ACD 8．12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭；9.5；10

11

．(.

三、解答题

15．解：（1）由2s i n a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由B 为锐角，得π6

B =． ………… 6分 （2）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-272545=+-7=

．所以b =.… 12分

18．（1）由正视图、俯视图知4AC =；

由正视图、侧视图知，点B 在平面SAC 上的正投影为AC 的中点D ，则3BD =， BD ⊥平面SAC ，BD AC ⊥；

由俯视图、侧视图知，点S 在平面ABC 上的正投影为DC 的中点O ， 则2SO =，SO ⊥平面ABC ，SO AC ⊥．如图．

（1）三棱锥S ABC -的体积11432432S ABC V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭

． 解法一：

以O 为原点，OA 为x 轴，过O 且平行于BD 的直线为y 轴，OS 为z 轴，建立

如图空间直角坐标系，可求()()()002300130S A B ，

，，，，，， ()()302132SA SB =-=- ，，，，，，

设()m x y z = ，，是平面SAB 的一个法向量，则

320320

m SA x y m SB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，取9322m ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，，， （2）可知()()100400C CA -= ，

，，，，，设点C 到平面SAB 的距离为d ，

则CA m d m

⋅== ． （3）可知()001n = ，，是平面ABC 一个法向量，

故cos 133m n m n m n

⋅<>==⨯ ，， 二面角S AB C --

的余弦值为133．