微积分发展简史 - 中国科学技术大学

曲率、拐点、曲线求长、求面积、求引力与引力中心等16类问题
现实了这中算法的普遍性、系统性以及强大威力

　　莱布尼兹于1673年提出特征三角形（ds
dx
dy）
认识到：求曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值当这些差值变成无穷小时的比
而求曲线下的面积则依赖于去穷小区间上的纵坐标之和
且看出了这两类问题的互逆关系
符号ds,dx,dy
dy/dx,(等都是属于莱布尼兹的

二．微积分的严格化
自牛顿和莱布尼兹之后
微积分得到了突飞猛进的发展
人们将微积分应用到自然科学的各个方面
建立了不少以微积分方法为主的分支学科
如常微分方程、偏微分方程、积分方程、变分法等等形成了数学的三大分支之一的"分析"
微积分应用于几何开拓了微分几何
有了几何分析；应用于理学上
就有了分析力学；于天文上就有了天体力学等
但是微积分的基础是不牢固的
尤其在适用无穷小概念上的随意与混乱
一会儿说不是零
一会儿说是零
这引起了人们对他们的理论的怀疑与批评
最有名的批评来自英国牧师伯克莱（Berkeley）.1734年
他在《分析学家
或致以为不信神的数学家》中写道"这些小时的增量究竟是什么呢？它们既不是有限量
也不是无穷小
又不是零
难道我们不能称它们为消逝量的鬼魂吗？"他对莱布尼兹的微积分也大家抨击
认为那些正确的结论
是从错误的原理出发通过"错误的抵消"而得到的
他的结论是：连牛顿的微积分、无穷小量那样模糊不清、逻辑混乱的东西都可以相信
为什么你们却不肯相信上帝呢？
经过达朗贝尔（D'Alembert）、欧拉(Euler)、拉格朗日(Lagrange)等人的百年努力
微积分严格化到19世纪初终于见到效果
捷克数学家波尔察诺（Bolzano）在1817年的著作中给出了包括函数连续性、导数等概念的合理定义
他还用几何方法第一个给出了连续函数处处不可微的例子
但是其工作长期不为人所注意
只到法国大数学家柯西（Cauchy）,他的三大著作：《工科大学分析教程》
1821；《无穷小计算教程概论》
1823；《微积分学讲义》
1929.通过这些著作
他赋予微积分以今天大学教科书中的模型
他给出了"变量"、"函数"的正确定义
且突破了函数必须有解析表达式的要求
他给出了"极限"的合适定义：当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值
最终使它的值与该定值的差要多小就多小
那么最后这个定值就称为所有其他值的极限
他的"无穷小量"不再是一个无穷小的固定数
而定义为：当同一变量逐次所取的绝对值无限减小
以至比任意给定的数还要小
这个变量就是所谓的无穷小或无穷小量；并用无穷小量给出