明德中学数学竞赛培训第4讲 高斯函数
第4讲 函数 x 和 x
一、知识要点:
(1) x 表示实数x的整数部分，或者说， x 是不超过x的最大整数，也称为高斯函数.
(2) x 表示实数x的“小数部分”或者“尾数部分”，其范围为0 x 1.
(3)函数 x 与 x 的相关性质.
(4)勒让德定理
二、例题剖析
例题1：画出函数 x 与 x 的图象，并且根据图象给总结出其函数性质. 例题2：解方程3x3 x 3.
12 22 19872 例题3：在项数为1987的数列 , , 中有多少个不同的整数. 198719871987
例题4：若n是正整数，x R,求证： x nx . n k 0n 1 k
例题5：已知n
为正整数，求证： .
例题6：若n
是正整数，求证：
1 例题7：若x R ,解方程 x 1，求证：x不是有理数. x
例题8：求证：对任意实数x，有 x x 2x 2 变式：对任意实数 , ，有 2 2 . 例题9：求所有正整数n使得min(k2 k N 1 n ) 1991. 2 k 例题10：若实数满足 x
例题11：计算和式
100 19 20 91 x x 100 100 546,求 100x . 100 23n 的值. n 1 101
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