初中数学竞赛平面几何中几个重要定理
初中数学竞赛平面几何中几个重要定理
定理1 正弦定理
ABC中，设外接圆半径为R，则
证明:如图1-1，图1-2 abc 2R sinAsinBsinC
过B作直径BA ，则 A A, BCA 90，故BCa 2R； 同理可得 sinA sinA,即sin
ABA 2R
ab
c 2R sinAsinBsinC
当 A为钝角时，可考虑其补角 A.
当 A为直角时，sinA 1，故无论哪种情况正弦定理成立。
定理2 余弦定理
ABC中，有关系a2 b2 c2 2bccosA
b2 a2 c2 2accosB
c2 a2 b2 2abcosC
有时也用它的等价形式
a bcosC ccosB
b acosC ccosA
c acosB bcosA
定理3 梅涅(Menelaus)劳斯定理（梅氏线）
直线DEF截 ABC的边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F.则
AFBDCE 1. FBDCEA
定理4塞瓦定理(Ceva) （塞瓦点）
设O是 ABC内任意一点，AD,BE,CF分别交对边于D,E,F则
BDCEAF 1 DCEAFB
定理5塞瓦定理逆定理
在 ABC三边所在直线BC,CA.AB上各取一点D,E,F，若
BDCEAF 1则AD,BE,CF平行或共点。: DCEAFB
定理6 斯特瓦尔特定理
b2p c2q pq 在 ABC中，若D是BC上一点，且BD p,DC q,AB c,AC b，则AD p q
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