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偏微分方程数值解法试题与答案

一．填空（3 5 15分）

1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差Rlm

程的解ulm. 此结论（错或对）； 2．一阶Sobolev空间H关于内积(f,g)1

1

0，则差分方程的解Ulm趋近于微分方

( ) f(x,y)f,fx ,fy L2( )

是Hilbert空间；

3．对非线性（变系数）差分格式，常用 系数法讨论差分格式的稳定性； 4．写出y x3在区间[1,2]上的两个一阶广义导数：， ；

5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论（错或对）。

二．（13分）设有椭圆型方程边值问题

2u 2u

0 x 0.3,0 y 0.2 2 2 x y

x y

ux 0 ux 0.3 2y 1

u u 1, u 2xy 0 n y 0.2

用h 0.1 作正方形网格剖分 。

（1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为O(h)的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为

2

三．（12）给定初值问题

UA

U B U C U D

u u ， u x,0 x 1 t x

取时间步长 0.1，空间步长h 0.2。试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数u(x,t)在x 0.2,t 0.2处的近似值。

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