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2008-2011年高考及北京市模拟试卷创新题小题汇编详解

1．

（10-11年上学期北师大实验高三摸底考试理14）

设f(n)是对一切正整数n有定义的函数，且f(1) 1，f(n) ( 1)k（n 1，k是n的素约数的个数）．令F(n)

dn

f(d)（其中dn表示d是n的约数，上式表示对n的一切约数d的函数f(d)求

和），则F(9) ；F(2011) ．

【解析】 1；0． 解法一：

依据定义：F(9) f(1) f(3) f(9) 1 ( 1)1 ( 1)1 1；

∵2011是素数，∴F(2011) f(1) f(2011) 1 ( 1)1 0． 解法二：

tt

来计算F(n)的表达式．根据算术基本定理，可以设n p1t p2 ps，其中p1,p2, ,ps为n的全部素因子，ti≥1(1≤i≤s)．

1

2

s

设d是n的约数，根据f的定义，当d pi pi pi时，f(d) ( 1)k，且f(1)正好可以视作

1

2

k

1

2

k

ririri

k 0

的情形．而F(n) f(d)，求和是对n的全体约数d求和．由于f(d)的取值只可能是( 1)k，

d|n

所以只需计算出，取值( 1)k的约数d的个数即可．这等价于求n的只有k个素因子的约数d的个数．

k 0

时，显然只有d 1，个数为1；k 1时，d pi，其中1≤i1≤s,1≤ri≤ti，d只能取

11

1

1

ri

s

ttt222

p1,p1, ,p11,p2,p2, ,p22, ,ps,ps, ,pss，个数是t1 t2 ts t；

ii 1

一般地对于k为任意的情形，当d的素因子取pi,pi, ,pi时，d pi pi pi，

1

2

k

1

2

k

ri

1

ri

2

ri

k

由于r能取1到ti，由乘法原理，这种情况下的d的个数是ti ti ti；由于d的素因子可以取

ij

j

12k

任意k个，所以总的只有k个素因子的约数d的个数是 k

s

1≤i1≤i2≤ ≤ik≤s

ti1 ti2 tik；

由此可知，F(n)

d|n

f(d) 1

( 1)

k 1

k

k；

考虑多项式h(x) (x t1)(x t2) (x ts)．由韦达定理可知：

h(x) (x t1)(x t2) (x ts)

x 1 x

s

nn 1

2 x

n 2

( 1) k x

kn k

( 1) s

s

在上式中两边赋值x 1即得 F(n) 1

( 1)

k 1

1

2

k

k h(1) (1 t1)(1 t2) (1 ts)

s

tt

∴当n p1t p2 ps时，F(n) (1 t1)(1 t2) (1 ts)；

∵9 32，∴F(9) 1 2 1；

∵2011 20111，∴F(2011) 1 1 0．

2．

（10-11年上学期海淀高三期末统考理8）

如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱DD1的侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥面A1BE，则B1F与平面成角的正切值构成的集合是（ ） A． 2 B

．A1

B1

B

D1ED

中点，F是CDD1C1所