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3 ( 2 R- r ) 一 4 ( R一 2 r )￣/ n ( n- 2 r ) 2 7 R / 4, 即这个不等式加强了哈捷斯( G.￣ I a j o s )于 一

1 9 5 0年得到的结果： 3 R/ 2√ (++ )/ 3 . 证明设=P一口， Y=P一6, z=P—C, U=+Y+z, v=. +y z+Z X, w=x y z,贝 U =

道 I MO试题的推广 吴善和

福建龙岩师范高等专科学校数学系

,

厂： ++ :— u ( v￣ - 2 u w ) —

设 a、 b、 C为三角形的三边长，试证 a 2 b ( a—b )+6 c ( b—C )+C 2 a ( c—a ) 0. ( 1 ) 故

,

W /

U= 4 ( 1 6 n + 8+, - f )/ 2, v= 4船+, ,

w=, 4 0 6 R + 8 R . r+, 一 f )/ 2 . 考虑以， , z为根的三次方程，由定理得 f一6 ( 2 R一， ) 厂+( 1 2 8 R 一1 9 2 R , +2 4 R , . +5 6 R r +9 r )≤0,

这是一道第 2 4届 I MO试题，本文从指数方向给出上述不等式的推广 . 定理设 a、 b、 C为三角形的三边长， 0< l, 2 y,贝 0 a b (口一b )+b C ( 6一C ) +￣ 2 a ( c一a r ) 0. ( 2 )

故 f 3 ( 2 R一， ) 一 4 ( R一 2 r ) 4 R ( n一 2, ) . 诚如宋代文学家王安石在《游褒禅山记》 说的：“入之愈深，其进愈难，而其见也愈奇 .” 又如华罗庚所说：“难关一破，收获滚滚来 .” 从二次方程到三次方程，我们仅仅是“更上一层楼”,但“千里目”之所至，风光名胜， 美不胜收 . 例 3是很有典型意义的，不但在于它是一个新的不等式，还在于它蕴涵了一种发现三角不等式的有效方法： ( 1 )考察三角形的三个量厂， g, h,它们是关于三角形三边长 a, b, C的对称函数 . ( 2 )用口， b, C或 P一口， P一6, P—C的基本对称函数： =a+b+c, v=a b+b c+c a, w= a b c,或 U=( p一口 )+( p一6 )+( p—c ), V=( p一

口 ) ( p一6 )+( p-b ) ( p-c )+( p—c ) ( p一口 ), w=

为证定理，先证两个引理引理 1设 a、 b、C为三角形的三边长，

0< l,则以 a 、b 、c r为三边长可构成三角形. 证明由题设条件，得 +b r= a a y一。+b b r一。

a ( a+6 ) 一。+b ( a+6 ) 一。 =

(口+6 )>C,

所以 a+b>C : 同理，有 b+C>a , c r+a r>b r;

故以a,、b,、 c,为三边长可构成三角形. 引理 2设 a、 b、C为三角形的三边长 . 2,贝 U a￣ b ( a一6 )+6 c ( b—c )+C 2 a ( c一口 ) 0. ( 3 ) 证明根据待证不等式( 2 )关于 a、b、C 轮换对称，不妨设 a b, a C.

( p一口 ) ( p一6 ) ( p—c )表示厂， g, h. ( 3 )反解上述式子，即用厂， g, h表示“, v, w.

①若 6 c, N o<. a<10<鱼≤ 1口 ,,

一

C

C

( 4 )由定理得关于厂， g, h的不等式. 如果读者朋友能够领悟到这一点，那么， 对一些看来非常复杂、几欲使人坠入五里雾中的数学成果，将不再止于眼花缭乱.新的，奇的，妙的，美的……我们也能创造出来！而这一切都得益于关于三次方程仅有实根的判别定理.这个定理可谓是有旺盛生产力的“母鸡”.

b 0, b—C≤0, 一2 0.

从而

,

a 2 b ( a一6 )+b￣ c ( b—c )+c 2 a ( c一口 ) :c一【 ( )一口 6 (口一6 ) C

+ (鱼 ) 一 z 6 z c ( 6一 c )+ c 2 a ( c一口 )】 C

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