2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第80讲_存在性问题(新)
第20讲 存在性问题
本节主要内容是存在性问题. 存在性问题有三种：
第一类是肯定性问题, 其模式为“已知A, 证明存在对象B, 使其具有某种性质”. 第二类是否定性问题, 其模式为“已知A, 证明具有某种性质B的对象不可能存在”. 第三类是探索性问题, 其模式为“已知A, 问是否存在具有某种性质B的对象”.
解决存在性问题通常有两种解题思路. 一种思路是通过正确的逻辑推理(包括直接计算), 证明(或求出)符合条件或要求的对象B必然存在. 常利用反证法、数学归纳法、抽屉原则、计数法等. 另一种思路是构造法. 直接构造具有某种性质B的对象. 常常采用排序原则、极端性原则进行构造.
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例1 已知函数f(x)=|1 x
(1)是否存在实数a,b(a<b), 使得函数的定义域和值域都是[a,b]?若存在,请求出a,b的值；若不存在，请说明理由。
(2)若存在实数a,b(a<b), 使得函数的定义域是[a,b]，值域是[ma,mb](m≠0)，求实数m的取值范围.(2005年天津市数学竞赛试题)
分析 函数f(x)是分段函数，它的值域是[0, ). [a,b]是[0, )的子集，而f(0)＞0，所以a＞0，因为函数f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，所以我们分三种情况(i) 当a,b∈(0,1)时；(ii) 当 a,b∈(1,+∞)时；(iii)当a∈(0,1),b∈[1,+∞)时加以讨论. 解 (1)不存在实数a,b(a<b)满足条件.
事实上，若存在实数a,b(a<b), 使得函数的定义域和值域都是[a,b]，则有x a＞0.故
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1 ,x 1. xf(x)=
1 1,x 1. x
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(i)当a,b∈(0,1)时, f(x)= x 1在(0,1)上是减函数，所以，
1
1 b,
f(a) b, a
即
f(b) a, 1 1 a.
b
由此推出a=b与已知矛盾. 故此时不存在实数a,b满足条件. 1
(ii)当a,b∈(1,+∞)时, f(x)=1x(1,+∞)上为增函数，所以，
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