2006年6月第26卷第3期

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郧阳师范高等专科学校学报JournalofYunyangTeachersCollegeJun.2006Vol.26No.3

谈谈泰勒公式的几点应用

傅秋桃

(华中师范大学 数学统计学院,湖北

武汉

430073)

[摘 要]泰勒公式是高等数学中的一个重要公式.在此介绍泰勒中值定理在四方面的应用:证明不等式;证明积分等式;求函数的极限;求函数的麦克劳林展开式. [关键词]泰勒公式;麦克劳林公式;应用

[中图分类号]O174 [文献标识码]A [文章编号]1008 6072(2006)03 0009 02

泰勒中值定理:设函数f(x)在点x0处的某邻域内具有直到(n+1)阶导数,则对该邻域内异于x0的任意点x,在x0与x之间至少存在一个 ,使得:

f(x)=f(x0)+f (x0)(x-x0)++ +

f(n)(x)

(x-x0)n+Rn(x)n!

(x-x0)2

2!

(1)

将f(x)在x=x0处按一阶泰勒公式展开:f(x)=

f(x0)+

(x-x0)f (x0)+

(x-2!

x0)2f ( ) ( 在x与x0之间),

分别将x1,x2代入上式,得f(x1)=x0)2f ( 1)

f(x2)=x0)2f ( 2),

则:(1-t)f(x1)+tf(x2)=f(x0)+

(1-t)x1+tx2-xf (x0)+

1

t(x2-x0)2f ( 2)2

1

(1-2

f(x0)+(x2-x0)f (x0)+

1

(x-2!2

f(x0)+(x1-x0)f (x0)+

1

(x-2!1

其中:Rn(x)=

f(n+1)( )

(x-x0)n+1,称为拉格朗日余

(n+1)!

f (0)2f(n)(0)n

x+ +x+2!n!

(2)

f( )n+1

x, 在0与x之间[1].

(n+1)!

(n+1)

项.令x0=0,则n阶泰勒公式为:

f(x)=f(0)+f (0)x+Rn(x)

其中:Rn(x)=

(2)式称为麦克劳林公式。将(1)中的Rn(x)记作0((x-x0)n),(2)式中的Rn(x)记作0(xn),则称公式(1)(2)为带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式.若LimRn(x)=0,可得f(x)的泰

n

t)(x1-x0)2f ( 1)+

由题设f (x) 0,且0 t 1知:(1-t)f(x1)+tf(x2) f(x0)即:

f(1-t)x1+tx2 (1-t)f(x1)+tf(x2).

勒级数.一般教科书上对泰勒级数的应用讲得很少,事实上,泰勒公式也是解高等数学问题的一个重要工具.它的特点在于用一个n次多项式Pn(x)去逼近一个已知的函数f(x),而且这种逼近具有很好的性质,充分体现了微积分 逼近法 的精髓,在高等数学的多个方面都有重要的应用.

2 用带皮亚诺型余项的泰勒公式求函数的极限

例2 设f(x)在x=0二阶可导,且 Lim

x 0

1 利用泰勒局部公式法证明不等式

例1 设f(x)在(a,b)内二阶可导,且f (x) 0.证明对于(a,b)内任意两点x1,x2及0 t 1,有f(1-t)x1+tx (1-t)f(x1)+tf(x2).

证明 令x0=(1-t)x1+tx2 (a,b)

sin3xf(x)

+3

xx23f(x)2+xx2

x 0

[2]

=0

求f(0)、f (0)、f (0),并计算极限 Lim

x 0

.

解 0=Lim

sin3xf(x)

+3

xx2

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[收稿日期]2006-03-26

[作者简介]傅秋桃(1968-),男,湖北汉川人,华中师范大学数学统计学院硕士研究生,郧阳师范高等专科学校数学

系助教,主要从事高等数学教学研究.

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