2 0 1 4年第 6期

数学箍学习方法总结

“ 1”在数学的解题中应用很广泛，特别是在三角 ,

AD与 B C交于点 M。设， 一b,试以n, b为基底

函数的化简、求值、证明中都有很多妙用。下面举例 说明，供大家参考。 一

一

、

“变 1还原”型已知 t a n 一3,则 s i n。 d+ s i n O￣ C O S d+ 0

表示。 解：由 C, M, B三点共线，可 D 设一( 1一 ) += 图】

解：利

用弦

化切， 可得

原

式一 5。

n+.: L l b。由 A, M, D三点共

! ±

Q± !:一！: ±!皇±一 t a n a+ 1

s i n a+ C O S a

线，可设一 z ￣ O q - ( 1一 z )茄一 z n+ 所以 一 且一

6。 。一

二、“加 m减”型

侧2 已知 0<a<詈<卢<丌， c o s a一詈， 可知 s i n ( a@f 1 )一一 o,则 c o s卢一 ——

,解得一了 3,

一口+ 3 6 。

, 。

六、“界 1讨论”型

解：由 0< a<号，号< a+卢<擎，可得 s i n a=== 4, c o s ( d+卢 )一一÷,所以 c o s一c o s[ ( a+卢 )一 ]一 c。 s (+卢 ) c。 。+ i n (+卢 ) s i n一一 。

中

侧 6 已知∈[一，兀],当实数取何值时，掌 方程 s i n- z—C O S z=== m有解？有两个不同的解？仅有生 一

解？有三个不同的解？

数 理

解：由一 s i n— c。 s一 s i n ( 一{ ),得 丫匕

或者，把 C O S ( a+卢 )一一7 - 展开，再与 s i n。卢+ C O S一1联立方程组，求出 C O S,但这种解法运算复 杂，不宜提倡。 三、“/’ (。 )=1”型

s i n ( 一手 )一另，且一 ≤ 一詈≤ 。

高 使 用

当 l m l≤ l,即一 ≤ ≤ 时，方程有解。 ,, z<时 .方程右两个不同的锯

倒了已知=/ ( )是定义在 R上的单调增函

当 l另 f< 且 ≠~ < < 或

< 当± 时，方程有一解。 当 ^/一 ,即一 1时， 2 y NN= -/ f - N同的解。 七、“ l e l k 2=一1”型

数，对任意实数，”,都有/’ ( 4 -” )一 f( m)+ 厂 ( )一1,解不等式 f ( a。+n一6 )<1。 解：取一一0,得 _厂 ( 0 )一1。由 f ( a。+口一6 ) <-厂 ( O ),得 a +口一6<0,解得 a∈(一3, 2 )。 四、“ _,’ (,” )=1”型

倒 已知 > o, b>O,满足。+ 6— 4,求+导 的最小值。

侧 7 已知两点 A( , Y ), B( z ,。 ),试证明以线段 AB为直径的圆的方程为 ( 3 2—3 2 ) ( 3 2一。 )+ 一

解：由a T+b一 1得 + 9一 a q『 - _ b _+ ,

倪

D

n

4o/

(— y1 ) (— y2 )一 0。

+ +器≥萼+ 2√鲁 9 ( 2一 2 5 (当且仅当。== 点，则 _詈 I, 6一 时取“一”号 ),可知所求最小值为 2 5。 五、“ 1+:=1”型

证明：设点 P( z, . y )为圆上异于点 A, B的任一 k k P B=:=一 1, Z卫 1

. . 7 2 1 X 2

一一1,即

( z一 3 2 1 ) ( z— 2 )+ ( y- -y 1 ) (~ 2 )一0。

当点 P与点 A或点 B重合时，也满足上述方程。 综上可知，原结论得证。

侧 如图1,在△0 A B中， 一÷ , 一

(责任编辑郭正华 )

通过数学分析法，研究人员发现一系列与植物生理有关的小变化，这些变化综合起来可促进生长效率，如只需普通

植物三分之一的吸水量、高达普通植物 1 3倍的二氧化碳吸收量等。