云师堂,高考数学

2 0 0 9年第7 - 8期

解题研究

中小学教学.高中版l●一

A

B

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类焦点三角形"问题 江苏省海州实验中学 (￣ 2 2 o 2 3 )屠金华例2 已知双曲线一 =l ( n>o, 6>o )的左、

我们把圆锥曲线的两个焦点为顶点，第三个顶点不在圆锥曲线上的三角形，称为“类焦点三角形”,它是“焦点三角形”的“变异”、拓展与创新.“类焦点三角形”不仅秉承了“焦点三角形”相类似的性质和几何特征，而且巧妙地融入更多的知识、方法，扩大的思维空间和自由度，为培养学生探究能力和随机应变能力，创建了有效的平台.以“类焦点三角形”为载体是 近几年高考圆锥曲线考查的一大“看点”,更是以它的知识性、思辨性和灵活性，得到大家的肯定.本文对近 j年高考中的“类焦点三角形”问题，从新课标的角度进行透析，希望从中得到一些启示 . 以“类焦点三角形”为载体。“与时俱进”的认 一

右焦点分别为，,尸是准线上一点，且尸 。上 P, I P F I I P F: I=4 a b,则双曲线的离心率是 ( ) . ( A) ( B) ( c) 2 J y

( D) 3

i : ● 一

。

、

识“双基”。为思维的展示搭建宽广的舞台第三个顶点在椭圆、双曲线的准线或与准线平行

幽 2

的直线上的这种“类焦点三角形”,是将焦点、准线的知识巧妙揉和在一起，使之蕴含着丰富的内涵和鲜明 的几何特征，有着比“焦点三角形”更大的发挥空间和自由度.重视“双基”是我国数学教育的特色之处， 也是今后新课标下高考数学命题的“基点” . 2 2

分析：假设 P点在双曲线的左准线 Z上，连结 O P,

在R t A P F l F 2中，由条件知 I P O I:÷ I F l F 2 I=c . 再由三角形的面积公式得 :

÷I

f I

f=- 5 - l P F l『 . f尸 f,即 —

例l 设F。, 分别是椭圆+ 0一

D一

=1 (Ⅱ>b>

I P 1.c: 2a b. P l:— I 2ab .

0 )的左、右焦

点，若在其右准线上存在点 P使线段

P F。的中垂线过点，则椭圆离心率 e的取值范围是 ( ),‘ .

在R t/ k P MO中，由勾股定理得 f O Pf =I O Mf

) . P

+ J J P } ,即 C 2= f、旦 r - )/ ‘+ f、 r , ) ‘,整理得C 4= 4 a c 一

3 a , e 一 4 e+ 3=0,解得e=j Y . 例3 如图 3,已知椭圆的中心在坐标原点，焦点

F。、 在轴上，长轴 A。 A:的长为 4,左准线 f与轴的交点为 M, l MA J I: I A l l:2:1 . — Z

图 1

( 1 )求椭圆的方程； ( 2 )若直线 Z : = m( f m f>1 ), P为。上的动点，使，。尸 最大的点 P记为 Q,求点 Q的坐标 (用 r n表示 ) V~

分析：在“类焦点三角形” P F 2中，因线段 P F, 的中垂线过点 F 2,所以 I P F: I:I F . F 2 I=2 c . F2 I M I:旦_一 c .

P f l

f

C

在R t/ X P MF 2中，显然有 I P F:l≥I F 2 M I,即 2 c≥一 a—c(当且仅 3 -" P, M ,

D

M

二_\一 。

重合时，取等号 ),解得 图 3

孚≤ .

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