控制系统的稳定性分析

第三章 控制系统的稳定性分析

3．1 概述

自动控制系统能在实际工程中应用最重要的特性是稳定性。一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。控制系统的稳定性，它表示系统能妥善地保持预定的工作状态，耐受各种不利因素的影响。在线性定常系统中，许多稳定性判据，如奈魁斯特稳定判据及劳斯稳定判据都给出了极为实用和非常方便的判别稳定性的方法。它们的基础都是描述系统动态特性的特征方程式的根都分布在根平面虚轴的左半部分。对于时变系统和非线性系统，分析稳定性的问题要复杂得多，上述各种稳定判据不能直接应用。在控制理论中今天仍把19世纪末俄国数学家李亚普诺夫提出的稳定性理论当作分析系统稳定性的重要方法，并且在一些方面做了进一步的研究。李亚普诺夫方法特别适用于以状态向量表示的系统。

李亚普诺夫方法分为第一法和第二法。前者称为第一近似方法，是解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性。对于非线性系统，在工作点附近的一定范围内，可以用线性化了的微方程式来近似地加以描述。如果线性化特征方程式的根全都是负实数根，或者是具有负实部的复根，则该系统在工作点附近是稳定的，否则是不稳定的。而后者称做直接法，这种方法是确定线性时变和非线性系统稳定性的更为一般的方法。这种方法可以在无需求解状态方程的条件下，确定系统的稳定性。因为求解线性时变系统和非线性系统的解通常是比较困难的，所以这种方法具有很大的优越性。这种方法的难点在于，正确选取合适的李亚普诺夫函数需要有相当的经验与技巧，这对于复杂的控制系统尤其困难。然而尽管如此，当其它方法无效时，这种方法却能解决一些非线性系统的稳定性问题。

3．2 系统的稳定性及李亚普诺夫第一方法

稳定性指的是系统处于平衡状态下，受到扰动之后，系统自由运动的性质。李亚普诺夫第一方法在本节中主要是针对非线性特性不很严重的实际系统而言。 一、统的稳定性

关于系统稳定性的定义，最早是由李亚普诺夫提出来的，现简述如下： 已知系统在自由运动时，齐次状态方程的一般形式为

(t)=f[x(t),t] （3-1） x

e=0。若扰动使系统的平衡状态受到破坏，在t=t0时，产生初系统处于平衡状态xe时，x

始状态x(t0)=x0，则t>t0后，系统的运动会使状态x(t)随时间变化。如果对应于无论多么总存在一个σ>0的圆或球域S(ε)，在初始状态x0不超出S(σ)小的ε>0的圆或球S(ε)，

的条件下，当t>t0，x(t)的运动轨迹始终在S(ε)的范围之内时，称这种系统为稳定系统。或归结为当系统有