对数

２０１０年２月

第１期吉林师范大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉｌｉｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｎｏ．１Ｆｅｂ．２０ｌＯ

多值函数中几个似是而非的结论

赵峰１，谷云东２

（１．聊城大学数学科学学院，山东聊城２５２０５９；２．华北电力大学数理学院，北京１０２２０６）

摘要：指出《复变函数论》教材中关于辐角函数的一个错误结论，讨论了对数函数与指数函数在复数域上几个似是而非的结论，并给出它们成立的充要条件．

关键词：辐角函数；对数函数；幂函数；指数函数

中图分类号：０１７４．５文献标识码：Ａ文章编号：１６７４－３８７３．（２０１０）０１．０１３９－０２

１关于辐角函数一个值得商榷的结论

四川大学数学学院钟玉泉教授编写的《复变函数论》是国内许多综合大学、师范院校及理工类院校广泛采用的一本复变函数教材，该书第一版荣获第一届国家教委高等学校优秀教材二等奖；其第三版是在第二版的基础上，集撷作者多年教学心得和科研成果、并根据１９８８年全国复变函数编写提纲讨论会精神修订的，在保留第二版阐述细致、便于自学的基础上，进一步提高质量，更加适应多数学校的教学需要，并对已发现的错误和不妥之处进行了改正．但对比修订前后的教材，发现新版在论述复数的乘幂与方根时，给出如下结论：Ａｒｓｅ＂＝－Ａｇｚ．其推导过程如下：

４，Ａｇｅ＂＝ｎＡｇｚ．

笔者认为，该推导过程值得商榷．由（＊）只能得出Ａｇｅ＂＝ｎＯ＋２ｋＴｒ（ｋ＝０，４－１，４－２，…）；而当正整数ｎ≠ｌ时，ｎＡｌｇｚ＝｛胡＋２ｎｌａｒ｝Ｉ：ｏ，±１．±２，…≠Ａｇｅ＇＝｛胡＋２ｂｒ｝＾：ｏ，±１．±２。…例如，ｎａｒｇｚ＋２１ｒ∈Ａｇｅ＂，但ｎＡｇｚ＋２７ｒ色ｎＡｒｇｚ．

事实上，关于辐角函数Ａｇｚ及幂函数矿（口为复数），有下面一般性的结论：设：＝ｒｅ留，则矿＝＾触＝，“（ｃｏｓｎｏ＋ｉｓｉｎｎＯ）（＊），从而有Ｉ矿Ｉ－ＩｚＩ

＇

定理１ｖｚ＃Ｏ，Ａｇｅ＝ａＡｇｚｃ：：，ａ＝｛（ｎ为非零整数）．

证明设口＝ａ＋ｈｉ（ａ，６为实数），彳＝ｒｅ毋，则

，＝ｅｎｋ＝ｅ（口＋础（１ｎｒ＋ｉ＃＊２ｂｒｉ）＝ｅ（ｄＩ“７一砸一２６ｂｒ）＋ｉ（ａａ＋２ａｌｎｒ＋６Ｉｎｒ’（ｋ＝０，４－ｌ，４－２，…）．

从而

Ａｇｅ＇＝ａＯ＋２ａｂｒ＋ｂｌｎｒ＋２ｂｒ（ｋ，１＝０，４－１，４－２，…）．

又

口Ａ昭ｚ＝（ａ＋ｂｉ）（口＋２ｂｒ）＝ａＯ＋２ａｌｎｒ＋ｂｉ（口＋２妨）（ｋ＝０，４－１，４－２，…），

所以

她矿＝ａＡｒｇｚ

车亭ａＯ＋２ａｂｒ＋ｂｌｎｒ＋２ｂｒ＝ａＯ＋２ａｂｒ，且６ｉ（口＋２脐）＝０，（ｋ，Ｚ＝０，４－１，４－２，…）

§６＝０且｛２ａｌｎｒ＋２阮｝Ｉ。ｆ；０。±１．±２，…＝｛２妇｝Ｉ：ｏ．±ｌ，±２，…

§６＝０且｛出＋Ｚ｝Ｉ．ｊ：０，±ｌ，±２。…＝｛施｝ｋ－－ｏ．土ｌ，±２，…

甘６＝０且对任意整数Ｚ，存在整数ｋ，使得ｚ＝ａｋ

铮６＝０且对Ｚ＝ｌ，存在整数ｎ，使得Ｚ＝册

收稿日期：２０１０．０１－０２基金项目：国家自然科学基金（６０４７４０２３），９７３国家霞大基础研究计划基金（２００２ＣＢ３１２２００），中国博士后科学基金

（２００５０３７３Ｊ６）和聊城人学科研资金（Ｘ０６１０４２）资助项目

第一作者简介：赵峰（１９７６－），男，山东省聊城市人。聊城大学数学科学学院讲师．研究方向：模糊系统及应用．

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