数学求值,化简与证明

)

A.- B.- C. D.
答案:B

解析:∵(α- )-( -β)= ,

∴cos =cos［(α- )-( -β)］

=cos(α- )cos( -β)+sin(α- )sin( -β).

又sin(α- )=± ,

cos( -β)= ,

∴cos =1或 .

∵cos(α+β)=2cos2 -1,

∴cos(α+β)=1或- .

由选项可知B正确.

7.(2006山东高考,理4文6)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知A= ,a= ,b=1,则c等于( )

A.1 B.2 C. -1 D.
答案:B

解析:由余弦定理可得

cosA= ,

cos = .

解得c=2.

8.(2006安徽高考,理11文11)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( )

A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形

B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形

C.△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形

D.△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形

答案：D

解析：本题使用特殊值法.

方法一：设△A2B2C2三内角为120°,30°,30°，△A1B1C1三内角为60°,60°,60°，则sin120°=cos60°.

方法二：△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，若△A2B2C2是锐角三角形，由
得 那么A2+B2+C2= .所以△A2B2C2是钝角三角形.

二、填空题

9.(2006全国高考卷Ⅱ,理14)已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为_______________________.

答案:
解析:∵A、B、C成等差数列,∴B=60°.


在△ABD中,AB=1,BD=2,∠B=60°.

∴由余弦定理得AD= .

10.(2006北京高考,理12)在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=5∶7∶8,则∠B的大小是_______.

答案:
解析:由正弦定理sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=5∶7∶8,

令a=5k,b=7k,c=8k(k＞0),

则由余弦定理cosB= = = .

又B为三角形内角,

∴B= .

11.(2006江苏高考,11)在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,则AC=____________________

答案：
解析:由正弦定理易知

= ,

∴AC= = = .


12.(2006重庆高考,理13)已知α,β∈( ,π),sin(α+β)=- ,sin(β- )= ,则cos(α+ )=__________________.

答案:-
解析:cos(α+ )=cos［(α+β)-(β- )］

=cos(α+β)cos(β- )+sin(α+β)sin(β- ).

∵α,β∈( ,π),

∴ ＜α+β＜2π, ＜β- ＜ .

∴cos(α+β)= ,cos(β- )=- .

∴cos(α+ )=- .

13.(2006陕西高考,理13文13)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为_____________________.

答案:-
解析:cos43°cos77°+sin43°cos167°

=cos43°cos77°-sin43°sin77°

=cos(43°+77°)=cos120°

=- .

三、解答题

14.(2006全国高考卷Ⅰ,理17文18)△ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA+2cos 取得最大值，并求出这个最大值.

解:由A+B+C=π,得 = - ,

所以有cos =sin ,

cosA+2cos =cosA+2sin
=1-2sin2 +2sin
=-2(sin - )2+ .

当sin = ,即A= 时,cosA+2cos 取得最大值 .

15.(2006北京高考,文15)已知函数f(x)= .

(1)求f(x)的定义域;

(2)设α是第四象限的角,且tanα