2007年　第46卷　第4期　　　　　　　数学通报　33

对一类分式不等式的概率证法的反思

任念兵

(上海市育才中学　201801)

　　文[1]利用概率中有关数学期望的一个性质

2

Eξ≥E2ξ证明了一类分式不等式,将概率知识与不

n

柯西不等式　设ai,bi∈R(i=1,2,…,n),则

等式证明联系起来,确实给人以启迪.然而,关于这种较为新颖的证明方法,笔者对文[1]中的某些观点却不敢苟同,下面是笔者对于概率证法的几点反思.

1　概率证法是“创新证法”么

文[1]把这种概率证法称为“创新证法”,并称“该证法开辟了分式不等式证明的新途径”,笔者以为并非如此.自从概率内容引入高中数学教材后,利用概率知识证明不等式问题的研究就如火如荼的开展起来了,一些数学教学类杂志刊载了不少相关文章;实际上,在概率内容进入新教材之前的文献中也不乏此方面的论述,文[2]就是本刊较早刊载的有关利用概率知识处理某些不等式问题的文章.因此,利用数学期望的性质证明不等式问题,也算不得什么“创新证法”,只是由于概率内容引入高中教材的时间并不长,这种概率证法尚未被普遍采用而已.

2　概率证法“易于掌握”么

文[1]指出,利用数学期望的性质证明分式不等式的关键,是构造出适当的离散型随机变量的概率分布列.然而,如何才能构造出“适当”的离散型随机变量的分布列呢?从文[1]的所有例题证明中,笔者看到的只是突兀的构造思路,繁杂的证明过程,总之让人难以得其方法要领,所以这种概率证法实在谈不上“易于掌握”.怎么办呢?还是先看看常用方法吧:

下面不加证明地引入常用的柯西不等式及其推论,并利用推论证明文[1]的几个例题,其它各例

i=1

∑ab

i

2i

nn

≤

∑a

i=1

2

i·

i=1

∑b

2i.①

推论1　设ai∈R+(i=1,2,…,n),则

n

n

∑ai·

i=1n

i=1

∑

n

1

≥n2.ai

n

推论2　设ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),则

∑

i=1n

ai

·bi

2

∑bi≥

i=1

∑ai

i=1

2

.

例1　设正数a1,a2,…,an之和为S,求证:ai≥(n≥2).∑n-1i=1S-ai

ain+1证明　∑≥ ∑i=1S-aii=1i

≥ ∑n-1i=1S-ai

n

n

n

2

n

≥ ∑·

n-1i=1S-ai

n

2

n

12

(n-1)S≥n ∑·∑(S-ai)≥n,由推

i=1S-aii=1

2

论1即证.

例2　若0<ai<1(i=1,2,…,n),且a1+a2+…+an=a,求证:

a1a2an++…+≥.1-a11-a21-ann-a

n

证明　∑

i=1

≥ ∑+11-ain-ai=11-ai

n

n

≥ ∑·(n-a)≥n2 ∑·n-ai=11-aii=11-ai

n

2

n

1-a)≥n∑(

i

i=1

2

,由推论1即证.

例3　已知a1,a2,…,an∈R+,且a1+a2+…+an=1,求证:

a2a2a212n++…+≥.

a1+a2a2+a3an+a12证明　记an+1

=a1,∑≥

2i1ain

2