数学求值,化简与证明

专题一 求值、化简与证明

知识扩展

三角学的历史(1)

早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学．希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品．例如，古希腊门纳劳斯著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密著《天文学大成》，初步发展了三角学．而在公元499年，印度数学家阿耶波多也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学．当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分．直到纳西尔丁的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯．

高考真题精选

2006高考题

一、选择题

1.(2006全国高考卷Ⅰ,理6文8)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c=2a,则cosB等于( )

A. B. C. D.
答案:B

解析:∵a、b、c成等比数列,

∴b2=ac.

又∵c=2a,

∴b2=2a2.

∴cosB=
= = .

2.(2006全国高考卷Ⅰ,理11文12)用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 …( )

A. cm2 B. cm2 C. cm2 D.20 cm2

答案:B

解析:∵周长一定的三角形越接近正三角形面积越大,由题意知本题中可构成的三角形中最接近正三角形的是以7,7,6为边长和以8,6,6为边长的三角形,前者面积为 cm2,后者面积为 cm2,较大的为前者.故选B.

3.(2006辽宁高考,理6文9)△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若p∥q,则角C的大小为( )

A. B. C. D.
答案:B

解析:p∥q,∴(a+c)(c-a)=b(b-a).

∴c2-a2=b2-ab.

∴ab=b2+a2-c2.

据余弦定理,

cosC= = .

∴C= .

4.(2006福建高考,理3文4)已知α∈( ,π),sinα= ,则tan(α+ )等于( )

A. B.7 C.- D.-7

答案:A

解析:∵α∈( ,π),sinα= ,

∴cosα=- =- .

∴tanα= =- .

∴tan(α+ )= = .

5.(2006湖北高考,理3)若△ABC的内角A满足sin2A= ,则sinA+cosA等于( )

A. B.- C. D.-
答案:A

解析:(sinA+cosA)2=1+sin2A= ,

∴|sinA+cosA|= .

又∵2sinAcosA＞0,sinA＞0.

∴sinA+cosA= .

6.(2006重庆高考,文10)若α,β∈(0, ),cos(α- )= ,sin( -β)=- ,则cos(α+β)的值等于(