圆锥侧面展开图的应用专题
通过几个实例说明圆锥侧面展开图的应用。
圆锥侧面展开图的应用专题
如何熟练解决圆锥与它的侧面展开图的有关问题，关键要弄清圆锥的侧面展开图与圆锥的两层关系：一是圆锥的底面周长等于扇形的弧长；二是母线长等于扇形的半径。现列举几例加以说明。
例 如图1，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求圆锥的锥角（∠APB）的度数。 解：连接OP，根据圆周长与弧长公式：
2π.OB=
180. .OP1
， ∴OB=PB，
1802
图1
∴∠OPB=30°∴∠APB=60°
例 如图2，圆锥的轴截面PAB是边长为20cm的等边三角形，一只蚂蚁从B出发，
沿侧面爬向PA的中点C，则它爬行的最短距离是多少？
解：如图3，将圆锥沿母线PB剪开并展开， ，，，
则A、C分别到了A、C位置，连接BC，
，
则BC就是爬行的最短距离。 设展开图的圆心角的度数为n，则π×20= ∴n=180°，∴∠BPC=90°，
，2'2
∴BC=PB PC 10(cm)
n. 20
，
180
图2
即蚂蚁爬行的最短距离为10cm。
图3
例 已知圆锥的底面半径OA=10cm，母线PA=30cm。由底面圆周上一点A出发，
绕其侧面一周的最短路线的长度是多少？
解：如图，设侧面展开图（扇形）的圆心角为n°，
则2π.OA=
n. .PA
，∴n=120。 180
由题意知，在侧面上的最短路线即为扇形中圆心角所对的弦。
‘
过点P作PH⊥AA于H，则∠PAH=30°， ∴PH=
1122‘
PA=×30=15. ∴AA=2AH=230 15=303（cm） 22
例 如图所示，某圆锥形物体，其母线长为6，底面半径为2，在底面A处有一只饥饿的蚂蚁闻到锥面B处（恰好是母线长的
1
，且靠近0）有糖味， 3
A
若此蚂蚁要获得此糖，则其行走的最短路程是多少？
