数学教学

二Ｂ＾¨常系数线雎生微分方程

周期麓的ｉ习ｉ仑

孙静“’常涛。１

（［１］湖北第二师范学院数学与计量经济系

湖北－武汉４３０２０５；

【２】湖北工业大学理学院湖北 武汉４３００６８）

，，…

，，、，．。。

．；

此二式ｅｅｃ，、Ｇ不同于（３）中Ｇ、Ｇ。把ｃｌ∽，Ｇ∞代入（４），

得【１）的通解为

摘要周期解问题是常微分方程中的一个重要问题，

也是Ａ．，『１７长期关注的一个焦点问题．该丈研究二阶常系数线性微分方程ｙ及周期解的表达式．

关键词常系数线性微分方程周期解特征方程常数变易法中图分类号：０１７５

；

７，十砂，＋删ｘ）的周期解问题，采用

，ｏ净扩［ｃＩ高ｆ以咖一“协］＋矿［ｃ２击ｆ以ｆ）ｅ一“酬（５）

则

：

常微分方程中常数变易法具体地讨论了它的存在条件

几什∞）＝矿”町Ｉｔ，＋７｛＿Ｊ取恤一ｎ伽］＋扩神［ｃ２＋ｉ％Ｊ＿杈，）

ｅ－＇ａｄｔ］

文献标识码：Ａ

，

、，

设，ＭＱ）＝矿‘［ｃｌ＋志ｆｏ＂ｆ（ｔ）Ｐ１研】，

口

ｌ引言

常微分方程这门学科讨论的基本问题是：研究方程的求解问题和各种属性。周期解问题是它要研究的一个重要问题。事实上，像二阶、三阶等高阶或更复杂的常微分方程周期解的存在性已是微分方程中人们非常关注的问题，多种线性或非线性分析的工具与方法被应用在该问题中，如Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ锥映射不动点定理、二阶线性微分方程的限制共振条件、Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理、变换定理等。

弦ｃ炉∥［ｃ２＋ｉ≥ｆ八，）Ｐ一呦］

由于ｍ）是以∞为周期的连续函数。可算得

ｙＩ时∞）＝ｒ沙ｌＣ什吐＇卜ｒ２ｙ２（ｘ＋∞）Ｙ’仕＋∞）＝咖 （一∞卜而乜∞｝∞）

，７协坳卜砂’，（．什∞），ｈ酬什珊）刊，目眇（什∞）也是方程（】）

的解。

由，ｌ，１＂２是冉６一ｃ＝０的根，知几什∞）满足

令：“（沪“什∞）１缸），要使方程（１）的解（５）是０２一周期解，

本文系统地讨论一阶线性常微分方程），’，＋砂斗∥可ｂ）的周

期解存在的条件及周期解表达式。

２主要结果及证明

考虑二阶常系数线性微分方程ｙ’．＋砂斗。尸“ｒ）期的连续函数。

（１）

即满足几什∞）兰如），亦要满足“Ｏ）三０，而

材Ｇ）＝）缸＋∞）－），（玲邓＾Ｉ［ｃ－矿。一ｃｌ七Ｊ二八，）ｅ一“七，ｆ］＋矿

［ＧｅＴＭ—ｃ２去助ｆ）ｅ一＂。ａｔｌ

的周期解，其中ｂ，ｃ为常数，Ｊｌｃ＊Ｏ，ｍ）为月一只上以∞为周

要使对任意工，“∽印，由于此时的矿与∥线性无关，则有

定理洲是以∞为周期的连续函数，则当ｂ２－４ｃ＞０时，

证

对应的齐次方程ｙ’Ｌ卜砂Ｌ卜钞：ｏ（２）

的特征方程为

方程（１）有唯一∞－周期解。

＾ｂｒ＋ｃ－－Ｏ。

（１）当６２—４ｃ＞Ｏ时，特征方程的两个特征根分别为

Ｉｃ。∥‘＋上ｃ！ｆ（ｔ）ｔ口－＂ｒｄｔ：ｏ卜。一ｃ：＋去￡巾矿扯。

也就是，当且仅当ｃ，气ｒ刁专（而Ｊ款ｆ）Ｐ一呦

Ｇ可刁彘而￡以ｆ）ｅ一呦

， 掰一号。

则方程（２）的通解为．舡户ｃ１卅Ｇ工矿

几）＝ｃＩＧ）矿斗ｃ２Ｇｈ矿。

（９）

（８）（７’

代入解（５）时可得到（１）的唯一∞一周期解。（２）当ｂ２－４ｃ＝０时，特征方程有两个相等特征根为

（６）

ｎ——ｔ厂’牙——１～

一６＋、／６２—４ｃ

一６一√６２—４ｃ

则方程（２）的通解为．ｙ（ｘ）＝ＣＩｒ＇“＋Ｃ２ｅ山（３）ｃＩ、ｃ２为任意常数。

运用常数变易法，设（１）的通解为几ｒ产ｃｌＧ冶“＋ＣＫｘ）ｅ“（４）

由方程组』

ｃｌ、ｃ２为任意常数。进而用常数变易法，设（１）的通解为

ｑ’＠）．口铲＋ｃ：’（ｘ）．Ｐ审寻０

可解出ｃ－Ｇ）＝ｃ－墙￡八ｆ）ｅ１西，ＧＧ）＝ｃ２击ｆ以，）ｅ－，ａａｔ

１００

【Ｃ１（功－（ｅ怛）’＋Ｃｚ（工） （Ｐ舻）’＝ｆ（ｘ）

由方程组』

ｃＩ’（曲．。－ｚ＋Ｑ’ｏ）．船－ｚ：ｏ

可解得ｃｌＧ）：ｃ。一胁） ｘｅ一％，

ｌＣｌ’（工）．（口＂）’＋ｃ２‘（ｘ）．（ｘｅ铲）’＝，（ｘ）