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4 6 重庆

《数学教学通讯￣ 2 0 0 3年 5月( J 5半月) (总第 1 7 4期 )

求函数值域的几种常用方法 (重庆市勉仁职业中学 4 0 0 7 0 0 ) 刘书华 (重庆市北碚区教委 4 0 0 7 0 0 ) 范梅宾 解：将原函数化简得： Y= 2 ( 1 o g 2 z)+ 8 l o g 2 z+ 6,

函数是中学教学中的重点内容之一 .由于

函数的值域在教材中阐述其求法甚微，因而有 不少的同学在求函数的值域时，无从着手 .为了帮助同学们在求值域时有一套较系统的方法， :

配方得 Y= 2[ 1 o g 2 z+ 2]一 2 . 因为当 z= 1时 ,

( 1。 g。 z+ 2 ) z有最小值

在这里归纳几种常用方法，供读者参考 . 1 反函数法

0 .因此所求原函数值域为[一2,+∞) . 4 变量代换法

如函数 Y=,( z )有反函数，则 Y= f ( z )

的定义域也就是 Y=厂( z )的值域.

变量代换法是数学解题中常用的解题方 法，求函数值域也常用 . 例4 求 Y— z一/r _ 的值域. 解：由1—2 x≥ 0知函数定义域为 (一C O,

例1求 Y ( z )一南 解：原函数的反函数为 Y= f ( z)一 l o g 2 .

的值域

专] 令一 z=

其定义域由

>0来确定，所以 0<

=一 (≥ 0 ) = 一

< 1,所以所求函数的值域是 ( O, 1 ) . 2 判别式法

Y=一÷ (+ 1 ) +1 .

某些函数的值域也可以借用二次方程的判 别式来解决 .

因为 > i 0,因此， ≤一 1+ 1=丢 . 所以函数的值域是 (一o o,] . 5 不等式法

例 2求 =等 的值域 . 解：将原函数的解析式变形为： y( x。+1 ) 一

2 x 一3 z ( j,一2 )+ Y+ 3= 0( z的二次所以上述方程必有实根 . 当j,一 2≠ 0时，△一 0— 4 ( y一 2 ) ( 3+

有些函数的值域可用不等式，特别是基本不等式口+ b≥ 2￣,, (口> O, b> O )求解.

方程 ),因为原函数的定义域为一切实数，

j, )≥ O ( j,一 2

) (+ 3 )≤ 0,

所以一 3≤ Y≤ 2,而 Y= 2时，这样的实

数根不存在.所以原函数的值域是[一3, 2 ) . 3 配方法

配方法在求函数值域时也常用 . 例3 在求 j,=2 ( 1 o g 2 2 x)+ l o g 2 ( 2 z)。+ 2 l o g 2 j -+ 2的值域.