第4章作业答案
信号处理与数据分析
1. （书稿4.12）设x(t)是一个奈奎斯特频率为 0的信号，是确定下列各信号的奈奎斯特频率。
（1）x(t) x(t 1)； （2）dx(t)； （3）x2(t)； （4）x(t)cos 0t dt
解：如果x(t)的奈奎斯特频率为 0，则其傅里叶变换X(j )=0，当 o2，因此，
FTY(j ) X(j ) e j tX(j )，很明显可以看出Y(j )=0，当 o/2，因（1）y(t) x(t) x(t 1)
此该信号奈奎斯特频率为 0。
（2）y(t) dx(t)FT Y(j ) j X(j )，很明显可以看出Y(j )=0，当 o/2，因此该信号奈奎斯特dt
频率为 0。
FTY(j ) (1/2 )[X(j ) X(j )]，很明显可以看出Y(j )=0，当 o，因此该信（3）y(t) x2(t)
号奈奎斯特频率为2 0。
FT（4）y(t) x(t)cos( 0t) Y(j ) (1/2)X(j( 0)) (1/2)X(j( 0))，很明显可以看出Y(j )=0，当 o o，因此该信号奈奎斯特频率为3 0。
sin50 t 2.(书稿4.13) 考虑信号x(t) 。现想用采样频率 s 150 对x(t)采样，得到信号g(t)的傅里叶 t 2
变换为G(j )。为保证G(j ) 75X(j ),| | 0，其中X(j )为x(t)的傅里叶变换。求 0的最大值为多少？
解：x(t)的傅里叶变换X(j )如下图所示，
通过冲击序列采样的结果为：
G(j )=1 X(j( k s)) T
其中T 2 / s 1/75，因此G(j )如下图所示
很显然，G(j )=1X(j )=75X(j )，当 50 。因此 0的最大值为50 。 T
3.(书稿4.15) 设x1(t)和x2(t)均为带限信号，它们的频谱满足X1(j ) 0,| | 1000 ，X2(j ) 0,| | 2000 。若y(t) x1(t) x2(t)，对y(t)进行单位冲激序列采样，试给出保证能从采样后信号恢复y(t)的采样周期T的范围。
解：y(t)利用傅里叶变换的性质，我们可以得到：
Y(j )=X1(j )X2(j )
因此Y(j )=0， 1000 。这说明y(t)的奈奎斯特采样频率为2 1000 2000 ，采样周期最多维2 10 3sec，因此采样周期T必须满足T 10 3sec，才能从采样信号中恢复y(t)。
