线性代数重要公式。

【线性代数重要公式】 1、 行 列 式 个元素， 行列式； 1. n 行列式共有 n 个元素，展开后有 n! 项，可分解为 2 行列式； 代数余子式的性质： 2. 代数余子式的性质： 的大小无关； ①、 A 和 a 的大小无关； ij ij 2

n

②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为 0; 某行( 的元素乘以其它行( ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为 A ; 某行( 的元素乘以该行( 素乘以该行 代数余子式和余子式的关系： A = ( 1) M 3. 代数余子式和余子式的关系： M = ( 1) A 4. 设 n 行列式 D : 下翻转或左右翻转， 将 D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 D ,则 D = ( 1) ij ij ij ij i+ j i+ j

n ( n 1) 2 n ( n 1) 2

1

1

D D

; ;

将 D 顺时针或逆时针旋转 90 ,所得行列式为 D ,则 D 2 3

o

2

= ( 1)

主对角线翻转后(转置), ),所得行列式为 将 D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为 D ,则 D 将 D 主副角线翻转后，所得行列式为 D ,则 D 主副角线翻转后， 4 4

3

=D

;

=D

;

行列式的重要公式： 5. 行列式的重要公式： 主对角行列式：主对角元素的乘积； ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积 × ( 1) 副对角行列式： ③、上、下三角行列式( ◥ 下三角行列式( ⑤、拉普拉斯展开式： C 拉普拉斯展开式： A O B = ◣ n ( n 1) 2 n ( n 1) 2

;

):主对角元素的乘积； ):主对角元素的乘积； 主对角元素的乘积 ； A O = O A B C = ( 1) m n A B

④、 ◤ 和 ◢ :副对角元素的乘积 × ( 1) = A C O B = A B

、C B

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； 范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 特征值； 恒有： 6. 对于 n 阶行列式 A ,恒有：λ E A = λ + ∑ ( 1) n k =1 n k

Sk λ n k

阶主子式； ,其中 S 为 k 阶主子式； k

的方法： 7. 证明 A = 0 的方法： ①、 A = A ; ②、反证法； 反证法； 证明其有非零解； ③、构造齐次方程组 Ax = 0 ,证明其有非零解； ④、利用秩，证明 r ( A) < n ; 利用秩， 1