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例谈三角形面积公式

11 bcsinA bc A)222证明：如图， 11aabc bccos OBC bc .222R4RS ABC

例：已知△ABC的面积为3，三边长分别为4，6，8求其外接圆面积。 分析：直接应用公式得外接圆半径代入面积公式S (

形式四：S ABC rp;(r为 ABC内切圆半径,p 215 ) . 16256a b c) 2

证明：如图，原三角形的面积可以看作三个等高的三角形的面

积和，其高为内切圆的半径，底的和为三角形的周长，故得此公式。

例：已知A(0,0),B(2,0),C(1,1)，求△ABC的内切圆方程。

122 2 1 2 1 r r 2 1分析：如图， 22

圆方程为(x 1)2 (y 1 2)2 3 22.S ABC

形式五：S ABC p(p a)(p b)(p c).(也叫海伦公式)

这个公式人们一直归功于古希腊数学家海伦（出现在《测地术》一书），但现在已证实是阿基米德﹝前287-前212﹞发现的。我国大数学家秦九韶﹝1022-1261﹞在他写的《数书九章》中计算“三斜求积”所用的公式本质上与海伦公式是相同的，其意义就是：设三角形

122a2 b2 c2

2的三边分别为a，b，c，面积为Δ，则 [ab ()]。 42

S ABC 111absinC cos2C (1 cosC)(1 cosC)222

1a2 b2 c2a2 b2 c21证明： ab(1 )(1 ) a b)2 c2][c2 (a b)2] 22ab2ab4

a b ca b cc b ac a b 2222p(p a)(p b)(p c).

例：（06年全国卷Ⅰ理科11题）用长度分别为2,3,4,5,6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ B. ）

222A.

例谈三角形面积公式

B.

例谈三角形面积公式

C.

例谈三角形面积公式

D. 20cm 2

分析：由题意分别列出边的各种组合连成三角形，用S ABC

p(p a)(p b)(p c)公式计算得边长为6、7、7时三角形面积最大其中p为半周长为定值。

例谈三角形面积公式

例谈三角形面积公式

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