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2 0 0 1年

第 4期

数学通报

1 7

关于函数 .厂 ( )=、 _

6+

值域的一个定理

马奎文马玉林 (山东省沂水教委教研室 2 7 6 4 o o ) 对于函数 ): ./n +b+√“+ d的值 域，当o, c同号时 .显然可以用函数的单调性求解；当o, c异号时，不能用函数单调性求解，近几年各数学刊物介绍了许多好的解法 .本文试给出个求函数 f ( )值域的定理，从根本上解决这种函数的值域求解问题 . 为了叙述方便， 设 l厂 ( )= + r二 ( o>0, c> 一

■

0 ) . 下面先给出一个引理 . 引理设 ( )= +6, f 2 ( x )= d一∞ ( o

, 2 (一詈 ) ( ), 所以^ (詈 (一詈 ) _^ (詈 (一 , 2 (一詈 ( )= 0 . 所以 (詈 (一 )一 (詈 ( )一 (一 ( )+ ( ) , 2 ( )= ( )’, 2 ( ), 所 [ (詈 )一^ ( )】【 (一 )一， 2 ( )】 ^( ) , 2 ( ), 由定理的条件知： l厂 ( )的定义域为 l”: :

o, c o ),则^ (詈 (一詈 ):^ (詈 ( )+ [一詈，詈],。 o—o, , 2 (一告 ( 证明因为 (詈 (一 b ): 因为[ ( )]: (詈 ),, 2 ( )一 ( _ ), ( a d+ ) 警 )= , 所^ (詈 )一^ ( )≥ 0,,’ (一詈 )一 ( ) (詈 ( )+, 2 (一詈 )^ ( ) =

( =竺 ( C : .

2. (

) ( 0

)

≥ o,

又因为^( ),, 2 ( )在定义域 M上非负 .

且詈 )+, 2 (一 ) :

所以 (苎 ), 2 (詈 )=^ (詈 ), 2 ( )+ , 2 (一 )^ ( ) . 定理设^( )=一+ 6, f 2 ( x): d一

旦 L ∞

土

> 0 .

所以

2√[^ (詈 )一 ( )]【, 2 (一 b )一正 ( )] =

(。 0, c 0,詈一 ),则函数， ( )= +、

2

丽

.

r二 -

的值域是

所以^ (詈 )一^ ( )+ (一 )一 ( ) ≥2 丽， 所以^( )+ ( )+2√百丽

[ l _【

_+( ( r二。 .

罔] . 证明

≤^ (詈 )+ (一 ) 所以[丽+￣, ] .

…先证

≤

由引理得 ^ (÷ (一 b ):^ (詈 ( )+

≤^ (詈 )+ (一 b ) 所以厕+厕